初中数学三角形的五心试题

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长
线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．
（1）求证：∠GCF=∠FCE；
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．

如图①，在□ABCD中，对角线AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．点E是BC边上的动点，过点E作EF⊥BC于点E，交折线AB-AD于点F，以EF为边在其右侧作正方形EFGH，使EH边落在射线BC上．点E从点B出发，以每秒1个单位的速度在BC边上运动，当点E与点C重合时，点E停止运动，设点E的运动时间为t（）秒．
（1）□ABCD的面积为；当t=秒时，点F与点A重合；
（2）点E在运动过程中，连接正方形EFGH的对角线EG，得△EHG，设△EHG与△ABC的重叠部分面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及对应的自变量t的取值范围；
（3）作点B关于点A的对称点Bˊ，连接CBˊ交AD边于点M（如图②），当点F在AD边上时，EF与对角线AC交于点N，连接MN得△MNC．是否存在时间t，使△MNC为等腰三角形？若存在，请求出使△MNC为等腰三角形的时间t；若不存在，请说明理由．

（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；
（2）在△ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．
①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________；
②如图3，当∠BAC=，(0°<<90°)，∠DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是____________________．【参考：】

如图，中，，为的中点．
操作：过点做的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，在的延长线上截取，联结、．

（1）试判断与之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；
（2）如果，，求的长．

如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．

如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．
①试求S关于t的函数关系式；
②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的 速度 移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）

（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
（1）抛物线y=x²对应的碟宽为　　；抛物线y=4x²对应的碟宽为　 　；抛物线y=ax²（a＞0）对应的碟宽为　　；抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）对应的碟宽为　　；
（2）抛物线y=ax²﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的对应准蝶形记为F_n（n=1，2，3…），定义F₁，F₂，…，F_n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F_n与F_n﹣1的相似比为，且F_n的碟顶是F_n﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准蝶形记为F₁．
①求抛物线y₂的表达式；
②若F₁的碟高为h₁，F₂的碟高为h₂，…F_n的碟高为h_n，则h_n=　　，F_n的碟宽有端点横坐标为　2　；F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．

（本题12分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．

如图，Rt△中，，，，是斜边上的高，点为边上一点（点不与点、重合），连接 ，作⊥，与边、线段分别交于点，；

（1）求线段、的长；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出x的取值范围．

如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB．AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．

（1）当x=EF时，求S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；
（3）①当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；
②当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．

已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=6，动点P以每秒个单位从点B出发沿线段BA、AC运动，过点P作边长为3的等边△FDE，使得点D在线段BC上，点E在线段DC上.
（1）如图（1），当EF经过点A时，动点P运动时间t为多少？
（2）设点P运动t秒时，△ABC与△DEF重叠部分面积为S，求S关于t的函数关系式.
（3）如图（2），在点P的运动过程中，是否存在时间t，使得以点P为圆心，AP为半径的圆与△FDE三边所在的直线相切.如果存在，请直接写出t的值；如不存在，说明理由.

已知：矩形ABCD中，M为BC边上一点， AB=BM=10，MC=14，如图1，正方形EFGH的顶点E和点B重合，点F、G、H分别在边AB、AM、BC上.如图2，P为对角线AC上一动点，正方形EFGH从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C匀速移动；同时，点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A匀速移动.当点F到达线段AC上时，正方形EFGH和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点F落在线段AM上和点G落在线段AC上时，分别求出对应t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形与重叠部分面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在点P,使是以DG为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s₁（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s₂（如图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，s₁₀=；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，∠ABC=α，∠ACD=β，BC=4，BD=6．
①若α=30°，β=60°，AB的长为；
②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律．