初中数学解直角三角形的应用-坡度坡角问题试题

某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 $\mathit{AC}$的坡度 $i$为 $1:2$，顶端 $C$离水平地面 $\mathit{AB}$的高度为 $10m$，从顶棚的 $D$处看 $E$处的仰角 $\alpha =18°30\text{'}$，竖直的立杆上 $C$、 $D$两点间的距离为 $4m$， $E$处到观众区底端 $A$处的水平距离 $\mathit{AF}$为 $3m$．求：

（1）观众区的水平宽度 $\mathit{AB}$；

（2）顶棚的 $E$处离地面的高度 $\mathit{EF}$． $(\sin 18°30\text{'}\approx 0.32$， $\tan l8°30\text{'}\approx 0.33$，结果精确到 $0.1m)$

某兴趣小组为了测量大楼 $\mathit{CD}$ 的高度，先沿着斜坡 $\mathit{AB}$ 走了52米到达坡顶点 $B$ 处，然后在点 $B$ 处测得大楼顶点 $C$ 的仰角为 $53°$ ，已知斜坡 $\mathit{AB}$ 的坡度为 $i=1:2.4$ ，点 $A$ 到大楼的距离 $\mathit{AD}$ 为72米，求大楼的高度 $\mathit{CD}$ ．

（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

如图，在建筑物 $\mathit{AB}$ 左侧距楼底 $B$ 点水平距离150米的 $C$ 处有一山坡，斜坡 $\mathit{CD}$ 的坡度（或坡比）为 $i=1:2.4$ ，坡顶 $D$ 到 $\mathit{BC}$ 的垂直距离 $\mathit{DE}=50$ 米（点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一平面内），在点 $D$ 处测得建筑物顶 $A$ 点的仰角为 $50°$ ，则建筑物 $\mathit{AB}$ 的高度约为 $($ 　　 $)$

（参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$ ； $\cos 50°\approx 0.64$ ； $\tan 50°\approx 1.19)$

A．

69.2米

B．

73.1米

C．

80.0米

D．

85.7米

如图，长 $4m$的楼梯 $\mathit{AB}$的倾斜角 $\angle \mathit{ABD}$为 $60°$，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 $\angle \mathit{ACD}$为 $45°$，则调整后的楼梯 $\mathit{AC}$的长为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{3}m$B． $2\sqrt{6}m$C． $(2\sqrt{3}-2)m$D． $(2\sqrt{6}-2)m$

如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 $5m$的竹竿 $\mathit{AC}$斜靠在石坝旁，量出杆长 $1m$处的 $D$点离地面的高度 $\mathit{DE}=0.6m$，又量得杆底与坝脚的距离 $\mathit{AB}=3m$，则石坝的坡度为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{4}$B．3C． $\frac{3}{5}$D．4

如图1，水坝的横截面是梯形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ABC}=37°$，坝顶 $\mathit{DC}=3m$，背水坡 $\mathit{AD}$的坡度 $i$（即 $\tan \angle \mathit{DAB})$为 $1:0.5$，坝底 $\mathit{AB}=14m$．

（1）求坝高；

（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 $\mathit{AE}=2\mathit{DF}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{BF}$，求 $\mathit{DF}$的长．（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$

如图，这是一座一侧有缓步台的过街天桥示意图．已知桥面 $\mathit{BC}$长为 $10m$，与水平面的垂直距离为 $6m$，桥面 $\mathit{DE}$长为 $6m$，与水平面的垂直距离为 $4m$．斜坡 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$与水平面的夹角分别为 $45°$， $27°$，斜坡 $\mathit{EF}$的坡度（即 $\mathit{EQ}:\mathit{FQ})$为 $2:3$．求天桥跨度 $\mathit{AF}$的长．

参考数据： $(\sin 27°\approx \frac{9}{20}$， $\cos 27°\approx \frac{9}{10}$， $\tan 27°\approx \frac{1}{2})$

如图，垂直于水平面的 $5G$ 信号塔 AB建在垂直于水平面的悬崖边 B点处，某测量员从山脚 C点出发沿水平方向前行78米到 D点（点 A， B， C在同一直线上），再沿斜坡 $\mathit{DE}$ 方向前行78米到 E点（点 A， B， C， D， E在同一平面内），在点 E处测得 $5G$ 信号塔顶端 A的仰角为43°，悬崖 BC的高为144.5米，斜坡 DE的坡度（或坡比） $i＝1：2.4$ ，则信号塔 AB的高度约为（　　）

（参考数据： $\mathit{sin}43°\approx 0.68$ ， $\mathit{cos}43°\approx 0.73$ ， $\mathit{tan}43°\approx 0.93$ ）

A．

23米

B．

24米

C．

24.5米

D．

25米

小明沿着坡度 $\mathit{i}$为 $\mathit{1}\mathit{:}\sqrt{\mathit{3}}$的直路向上走了 $\mathit{50}\mathit{m}$，则小明沿垂直方向升高了　   　 $\mathit{m}$．

如图，雨后初晴，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角 $\angle 1$、测量点 $A$到水面平台的垂直高度 $\mathit{AB}$、看到倒影顶端的视线与水面交点 $C$到 $\mathit{AB}$的水半距离 $\mathit{BC}$．再测得梯步斜坡的坡角 $\angle 2$和长度 $\mathit{EF}$，根据以下数据进行计算，

如图， $\mathit{AB}=2$米， $\mathit{BC}=1$米， $\mathit{EF}=4\sqrt{6}$米， $\angle 1=60°$， $\angle 2=45°$．已知线段 $\mathit{ON}$和线段 $\mathit{OD}$关于直线 $\mathit{OB}$对称．（以下结果保留根号）

（1）求梯步的高度 $\mathit{MO}$；

（2）求树高 $\mathit{MN}$．

如图，小刚从山脚 $A$出发，沿坡角为 $\alpha$的山坡向上走了300米到达 $B$点，则小刚上升了 $($　　 $)$

A． $300\sin \alpha$米B． $300\cos \alpha$米C． $300\tan \alpha$米D． $\frac{300}{\tan \alpha }$米

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． $\mathit{BC}//\mathit{AD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，斜坡 $\mathit{AB}$长 $26m$，斜坡 $\mathit{AB}$的坡比为 $12:5$．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过 $50°$时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 $A$不动，则坡顶 $B$沿 $\mathit{BC}$至少向右移　　 $m$时，才能确保山体不滑坡．（取 $\tan 50°\approx 1.2)$

如图，某商店营业大厅自动扶梯 $\mathit{AB}$的倾斜角为 $31°$， $\mathit{AB}$的长为12米，则大厅两层之间的高度为　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据； sin 31 ° = 0 . 515 ， cos 31 ° = 0 . 857 ， tan 31 ° = 0 . 601 】

如图， $\mathit{BC}$是路边坡角为 $30°$，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆 $\mathit{CD}$的顶端 $D$处有一探射灯，射出的边缘光线 $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$与水平路面 $\mathit{AB}$所成的夹角 $\angle \mathit{DAN}$和 $\angle \mathit{DBN}$分别是 $37°$和 $60°$（图中的点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $M$、 $N$均在同一平面内， $\mathit{CM}//\mathit{AN})$．

（1）求灯杆 $\mathit{CD}$的高度；

（2）求 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sqrt{3}=1.73$． $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$