初中数学解直角三角形的应用-坡度坡角问题试题

如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 $\mathit{MA}$ 和 $\mathit{ND}$ ．甲在山脚点 $C$ 处测得通信基站顶端 $M$ 的仰角为 $60°$ ，测得点 $C$ 距离通信基站 $\mathit{MA}$ 的水平距离 $\mathit{CB}$ 为 $30m$ ；乙在另一座山脚点 $F$ 处测得点 $F$ 距离通信基站 $\mathit{ND}$ 的水平距离 $\mathit{FE}$ 为 $50m$ ，测得山坡 $\mathit{DF}$ 的坡度 $i=1:1.25$ ．若 $\mathit{ND}=\frac{5}{8}\mathit{DE}$ ，点 $C$ ， $B$ ， $E$ ， $F$ 在同一水平线上，则两个通信基站顶端 $M$ 与顶端 $N$ 的高度差为（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73\left)\right($ 　　 $)$

A．

$9.0m$

B．

$12.8m$

C．

$13.1m$

D．

$22.7m$

某兴趣小组为了测量大楼 $\mathit{CD}$ 的高度，先沿着斜坡 $\mathit{AB}$ 走了52米到达坡顶点 $B$ 处，然后在点 $B$ 处测得大楼顶点 $C$ 的仰角为 $53°$ ，已知斜坡 $\mathit{AB}$ 的坡度为 $i=1:2.4$ ，点 $A$ 到大楼的距离 $\mathit{AD}$ 为72米，求大楼的高度 $\mathit{CD}$ ．

（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

如图，小明在距离地面30米的 $P$处测得 $A$处的俯角为 $15°$， $B$处的俯角为 $60°$．若斜面坡度为 $1:\sqrt{3}$，则斜坡 $\mathit{AB}$的长是　 　米．

日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数 $=L:(H-H_1)$，其中 $L$为楼间水平距离， $H$为南侧楼房高度， $H_1$为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡 $\mathit{EF}$朝北， $\mathit{EF}$长为 $15m$，坡度为 $i=1:0.75$，山坡顶部平地 $\mathit{EM}$上有一高为 $22.5m$的楼房 $\mathit{AB}$，底部 $A$到 $E$点的距离为 $4m$．

（1）求山坡 $\mathit{EF}$的水平宽度 $\mathit{FH}$；

（2）欲在 $\mathit{AB}$楼正北侧山脚的平地 $\mathit{FN}$上建一楼房 $\mathit{CD}$，已知该楼底层窗台 $P$处至地面 $C$处的高度为 $0.9m$，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部 $C$距 $F$处至少多远？

如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $\alpha$ 要满足 $60°⩽\alpha ⩽75°$ ，现有一架长 $5.5m$ 的梯子．

（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？

（2）当梯子底端距离墙面 $2.2m$ 时， $\alpha$ 等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？

（参考数据： $\sin 75°\approx 0.97$ ， $\cos 75°\approx 0.26$ ， $\tan 75°\approx 3.73$ ， $\sin 23.6°\approx 0.40$ ， $\cos 66.4°\approx 0.40$ ， $\tan 21.8°\approx 0.40$ ． $)$

太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 $\mathit{AB}$ 的坡度 $i=5:12(i$ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 $A$ 以0.5米 $/$ 秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 $B$ ，则王老师上升的铅直高度 $\mathit{BC}$ 为 　　米．

如图，在建筑物 $\mathit{AB}$ 左侧距楼底 $B$ 点水平距离150米的 $C$ 处有一山坡，斜坡 $\mathit{CD}$ 的坡度（或坡比）为 $i=1:2.4$ ，坡顶 $D$ 到 $\mathit{BC}$ 的垂直距离 $\mathit{DE}=50$ 米（点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一平面内），在点 $D$ 处测得建筑物顶 $A$ 点的仰角为 $50°$ ，则建筑物 $\mathit{AB}$ 的高度约为 $($ 　　 $)$

（参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$ ； $\cos 50°\approx 0.64$ ； $\tan 50°\approx 1.19)$

A．

69.2米

B．

73.1米

C．

80.0米

D．

85.7米

如图，某测量小组为了测量山 $\mathit{BC}$的高度，在地面 $A$处测得山顶 $B$的仰角 $45°$，然后沿着坡度为 $i=1:\sqrt{3}$的坡面 $\mathit{AD}$走了200米达到 $D$处，此时在 $D$处测得山顶 $B$的仰角为 $60°$，求山高 $\mathit{BC}$（结果保留根号）．

如图1，水坝的横截面是梯形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ABC}=37°$，坝顶 $\mathit{DC}=3m$，背水坡 $\mathit{AD}$的坡度 $i$（即 $\tan \angle \mathit{DAB})$为 $1:0.5$，坝底 $\mathit{AB}=14m$．

（1）求坝高；

（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 $\mathit{AE}=2\mathit{DF}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{BF}$，求 $\mathit{DF}$的长．（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$

如图，垂直于水平面的 $5G$ 信号塔 AB建在垂直于水平面的悬崖边 B点处，某测量员从山脚 C点出发沿水平方向前行78米到 D点（点 A， B， C在同一直线上），再沿斜坡 $\mathit{DE}$ 方向前行78米到 E点（点 A， B， C， D， E在同一平面内），在点 E处测得 $5G$ 信号塔顶端 A的仰角为43°，悬崖 BC的高为144.5米，斜坡 DE的坡度（或坡比） $i＝1：2.4$ ，则信号塔 AB的高度约为（　　）

（参考数据： $\mathit{sin}43°\approx 0.68$ ， $\mathit{cos}43°\approx 0.73$ ， $\mathit{tan}43°\approx 0.93$ ）

A．

23米

B．

24米

C．

24.5米

D．

25米

如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{DC}//\mathit{AB}$． $\mathit{BC}$长6米，坡角 $\beta$为 $45°$， $\mathit{AD}$的坡角 $\alpha$为 $30°$，则 $\mathit{AD}$长为　　米（结果保留根号）．

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，雨后初晴，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角 $\angle 1$、测量点 $A$到水面平台的垂直高度 $\mathit{AB}$、看到倒影顶端的视线与水面交点 $C$到 $\mathit{AB}$的水半距离 $\mathit{BC}$．再测得梯步斜坡的坡角 $\angle 2$和长度 $\mathit{EF}$，根据以下数据进行计算，

如图， $\mathit{AB}=2$米， $\mathit{BC}=1$米， $\mathit{EF}=4\sqrt{6}$米， $\angle 1=60°$， $\angle 2=45°$．已知线段 $\mathit{ON}$和线段 $\mathit{OD}$关于直线 $\mathit{OB}$对称．（以下结果保留根号）

（1）求梯步的高度 $\mathit{MO}$；

（2）求树高 $\mathit{MN}$．

如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． $\mathit{BC}//\mathit{AD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，斜坡 $\mathit{AB}$长 $26m$，斜坡 $\mathit{AB}$的坡比为 $12:5$．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过 $50°$时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 $A$不动，则坡顶 $B$沿 $\mathit{BC}$至少向右移　　 $m$时，才能确保山体不滑坡．（取 $\tan 50°\approx 1.2)$

如图，某商店营业大厅自动扶梯 $\mathit{AB}$的倾斜角为 $31°$， $\mathit{AB}$的长为12米，则大厅两层之间的高度为　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据； sin 31 ° = 0 . 515 ， cos 31 ° = 0 . 857 ， tan 31 ° = 0 . 601 】