初中数学解直角三角形的应用-坡度坡角问题试题

某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 $\mathit{BC}$的坡度为 $1:1$，文化墙 $\mathit{PM}$在天桥底部正前方8米处 $(\mathit{PB}$的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 $1:\sqrt{3}$．（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

（1）若新坡面坡角为 $\alpha$，求坡角 $\alpha$度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 $\mathit{PM}$是否需要拆除？请说明理由．

为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形 $\mathit{ABCD}$．已知迎水坡面 $\mathit{AB}=12$米，背水坡面 $\mathit{CD}=12\sqrt{3}$米， $\angle B=60°$，加固后拦水坝的横断面为梯形 $\mathit{ABED}$， $\tan E=\frac{3}{13}\sqrt{3}$，则 $\mathit{CE}$的长为　 　米．

一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是 $($　　 $)$

A．斜坡 $\mathit{AB}$的坡度是 $10°$B．斜坡 $\mathit{AB}$的坡度是 $\tan 10°$

C． $\mathit{AC}=1.2\tan 10°$米D． $\mathit{AB}=\frac{1.2}{\cos 10°}$米

太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 $\mathit{AB}$ 的坡度 $i=5:12(i$ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 $A$ 以0.5米 $/$ 秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 $B$ ，则王老师上升的铅直高度 $\mathit{BC}$ 为 　　米．

如图，有一斜坡 AB，坡顶 B离地面的高度 BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠ BAC，若tan∠ BAC＝ $\frac{2}{5}$ ，则此斜坡的水平距离 AC为（　　）

A．

75m

B．

50m

C．

30m

D．

12m

某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 $\mathit{AC}$的坡度 $i$为 $1:2$，顶端 $C$离水平地面 $\mathit{AB}$的高度为 $10m$，从顶棚的 $D$处看 $E$处的仰角 $\alpha =18°30\text{'}$，竖直的立杆上 $C$、 $D$两点间的距离为 $4m$， $E$处到观众区底端 $A$处的水平距离 $\mathit{AF}$为 $3m$．求：

（1）观众区的水平宽度 $\mathit{AB}$；

（2）顶棚的 $E$处离地面的高度 $\mathit{EF}$． $(\sin 18°30\text{'}\approx 0.32$， $\tan l8°30\text{'}\approx 0.33$，结果精确到 $0.1m)$

如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距 $800(1+\sqrt{3})$米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？

某兴趣小组为了测量大楼 $\mathit{CD}$ 的高度，先沿着斜坡 $\mathit{AB}$ 走了52米到达坡顶点 $B$ 处，然后在点 $B$ 处测得大楼顶点 $C$ 的仰角为 $53°$ ，已知斜坡 $\mathit{AB}$ 的坡度为 $i=1:2.4$ ，点 $A$ 到大楼的距离 $\mathit{AD}$ 为72米，求大楼的高度 $\mathit{CD}$ ．

（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层 AD与 BC平行，层高 AB为8米， A、 D间水平距离为5米，∠ ACB＝21.5°

（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在 D处会不会碰到头部；

（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台 MN∥ BC，且 AM段和 NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台 MN的长度．

（参考数据：sin21.5°＝ $\frac{9}{25}$ ，cos21.5°＝ $\frac{9}{10}$ ，tan21.5°＝ $\frac{2}{5}$ ）

如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 $\alpha =20°$ ，两树间的坡面距离 $\mathit{AB}=5m$ ，则这两棵树的水平距离约为 　　 $m$ （结果精确到 $0.1m$ ，参考数据： $\sin 20°\approx 0.342$ ， $\cos 20°\approx 0.940$ ， $\tan 20°\approx 0.364)$ ．

如图，在建筑物 $\mathit{AB}$ 左侧距楼底 $B$ 点水平距离150米的 $C$ 处有一山坡，斜坡 $\mathit{CD}$ 的坡度（或坡比）为 $i=1:2.4$ ，坡顶 $D$ 到 $\mathit{BC}$ 的垂直距离 $\mathit{DE}=50$ 米（点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一平面内），在点 $D$ 处测得建筑物顶 $A$ 点的仰角为 $50°$ ，则建筑物 $\mathit{AB}$ 的高度约为 $($ 　　 $)$

（参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$ ； $\cos 50°\approx 0.64$ ； $\tan 50°\approx 1.19)$

A．

69.2米

B．

73.1米

C．

80.0米

D．

85.7米

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． $\mathit{BC}//\mathit{AD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，斜坡 $\mathit{AB}$长 $26m$，斜坡 $\mathit{AB}$的坡比为 $12:5$．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过 $50°$时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 $A$不动，则坡顶 $B$沿 $\mathit{BC}$至少向右移　　 $m$时，才能确保山体不滑坡．（取 $\tan 50°\approx 1.2)$

如图，某商店营业大厅自动扶梯 $\mathit{AB}$的倾斜角为 $31°$， $\mathit{AB}$的长为12米，则大厅两层之间的高度为　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据； sin 31 ° = 0 . 515 ， cos 31 ° = 0 . 857 ， tan 31 ° = 0 . 601 】

如图，小刚从山脚 $A$出发，沿坡角为 $\alpha$的山坡向上走了300米到达 $B$点，则小刚上升了 $($　　 $)$

A． $300\sin \alpha$米B． $300\cos \alpha$米C． $300\tan \alpha$米D． $\frac{300}{\tan \alpha }$米