初中数学解直角三角形试题

已知 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的两条弦，直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$互相垂直，垂足为 $E$，连接 $\mathit{AC}$，过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $F$，直线 $\mathit{BF}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $M$．

（1）如图1，当点 $E$在 $\odot O$内时，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{BD}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{AM}$；

（2）如图2，当点 $E$在 $\odot O$外时，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{AM}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{AM}$；

（3）如图3，当点 $E$在 $\odot O$外时， $\angle \mathit{ABF}$的平分线与 $\mathit{AC}$交于点 $H$，若 $\tan \angle C=\frac{4}{3}$，求 $\tan \angle \mathit{ABH}$的值．

正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 $\sqrt{3}:2$，则这个正多边形为 $($　　 $)$

A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形

如图， $O$为坐标原点，四边形 $\mathit{OACB}$是菱形， $\mathit{OB}$在 $x$轴的正半轴上， $\sin \angle \mathit{AOB}=\frac{4}{5}$，反比例函数 $y=\frac{48}{x}$在第一象限内的图象经过点 $A$，与 $\mathit{BC}$交于点 $F$，则 $\mathit{\Delta AOF}$的面积等于 $($　　 $)$

A．60B．80C．30D．40

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=5$，反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象经过点 $A(1,4)$．

（1）求反比例函数的关系式和点 $B$的坐标；

（2）如图2，过 $\mathit{BC}$的中点 $D$作 $\mathit{DP}//x$轴交反比例函数图象于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$．

①求 $\mathit{\Delta AOP}$的面积；

②在 $▱\mathit{OABC}$的边上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta POM}$是以 $\mathit{PO}$为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=8\sqrt{3}$， $\mathit{AD}=10$，点 $E$是 $\mathit{CD}$中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点 $A$与点 $E$重合，如图2，折痕为 $\mathit{MN}$，连接 $\mathit{ME}$、 $\mathit{NE}$；第二次折叠纸片使点 $N$与点 $E$重合，如图3，点 $B$落到 $B\text{'}$处，折痕为 $\mathit{HG}$，连接 $\mathit{HE}$，则 $\tan \angle \mathit{EHG}=$　          　．

如图， $\mathit{\Delta ACB}$和 $\mathit{\Delta DCE}$均为等腰三角形，点 $A$， $D$， $E$在同一直线上，连接 $\mathit{BE}$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{CBA}=\angle \mathit{CDE}=\angle \mathit{CED}=50°$

①求证： $\mathit{AD}=\mathit{BE}$；

②求 $\angle \mathit{AEB}$的度数．

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=120°$， $\mathit{CM}$为 $\mathit{\Delta DCE}$中 $\mathit{DE}$边上的高， $\mathit{BN}$为 $\mathit{\Delta ABE}$中 $\mathit{AE}$边上的高，试证明： $\mathit{AE}=2\sqrt{3}\mathit{CM}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathit{BN}$．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$外作等腰直角 $\mathit{\Delta CDE}$， $\mathit{DE}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{BE}$，则 $\tan \angle \mathit{EBC}=$　        　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$与△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$都是等腰三角形，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}=5$， $A\text{'}B\text{'}=A\text{'}C\text{'}=3$，若 $\angle B+\angle B\text{'}=90°$，则 $\mathit{\Delta ABC}$与△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$的面积比为 $($　　 $)$

A． $25:9$B． $5:3$C． $\sqrt{5}:\sqrt{3}$D． $5\sqrt{5}:3\sqrt{3}$

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象在第二象限交于点 $C$， $\mathit{CE}\perp x$轴，垂足为点 $E$， $\tan \angle \mathit{ABO}=\frac{1}{2}$， $\mathit{OB}=4$， $\mathit{OE}=2$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点 $D$是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp y$轴，垂足为点 $F$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{BF}$．如果 $S_{\mathit{\Delta BAF}}=4S_{\mathit{\Delta DFO}}$，求点 $D$的坐标．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{BC}$为直径的圆交 $\mathit{AC}$于点 $D$， $\angle \mathit{AD}=\angle \mathit{ACB}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是圆的切线；

（2）若点 $E$是 $\mathit{BC}$上一点，已知 $\mathit{BE}=4$， $\tan \angle \mathit{AEB}=\frac{5}{3}$， $\mathit{AB}:\mathit{BC}=2:3$，求圆的直径．

如图，折叠矩形 $\mathit{ABCD}$的一边 $\mathit{AD}$，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边的点 $F$处，已知折痕 $\mathit{AE}=5\sqrt{5}\mathit{cm}$，且 $\tan \angle \mathit{EFC}=\frac{3}{4}$，那么矩形 $\mathit{ABCD}$的周长为　    　 $\mathit{cm}$．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\mathit{AB}=4$， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点 $E$重合，将三角板绕点 $E$旋转，三角板的两直角边分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$（或它们的延长线）于点 $M$， $N$，设 $\angle \mathit{AEM}=\alpha (0°<\alpha <90°)$，给出下列四个结论：

① $\mathit{AM}=\mathit{CN}$；

② $\angle \mathit{AME}=\angle \mathit{BNE}$；

③ $\mathit{BN}-\mathit{AM}=2$；

④ $S_{\mathit{\Delta EMN}}=\frac{2}{\mathit{co}{s}^2\alpha }$．

上述结论中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图，过正方形 $\mathit{ABCD}$顶点 $\mathit{B}$， $\mathit{C}$的 $\mathit{\odot }\mathit{O}$与 $\mathit{AD}$相切于点 $\mathit{E}$，与 $\mathit{CD}$相交于点 $\mathit{F}$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）求证： $\mathit{EF}$平分 $\mathit{\angle }\mathit{BFD}$．

（2）若 $\mathbf{tan}\mathit{\angle }\mathit{FBC}\mathit{=}\frac{\mathit{3}}{\mathit{4}}$， $\mathit{DF}\mathit{=}\sqrt{\mathit{5}}$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $\mathit{AC}$为 $\odot O$的弦，过 $\odot O$外的点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连接 $\mathit{DC}$并延长交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $P$，且 $\angle D=2\angle A$，作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$．

（1）判断直线 $\mathit{DC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{HB}=2$， $\cos D=\frac{3}{5}$，请求出 $\mathit{AC}$的长．

在平面直角坐标系中， $A$， $B$， $C$三点坐标分别为 $A(-6,3)$， $B(-4,1)$， $C(-1,1)$．

（1）如图1，顺次连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$，得 $\mathit{\Delta ABC}$．

①点 $A$关于 $x$轴的对称点 $A_1$的坐标是　　，点 $B$关于 $y$轴的对称点 $B_1$的坐标是　　；

②画出 $\mathit{\Delta ABC}$关于原点对称的△ $A_2{B}_2{C}_2$；

③ $\tan \angle A_2{C}_2{B}_2=$　　；

（2）利用四边形的不稳定性，将第二象限部分由小正方形组成的网格，变化为如图2所示的由小菱形组成的网格，每个小菱形的边长仍为1个单位长度，且较小内角为 $60°$，原来的格点 $A$， $B$， $C$分别对应新网格中的格点 $A\text{'}$， $B\text{'}$， $C\text{'}$，顺次连接 $A\text{'}B\text{'}$， $B\text{'}C\text{'}$， $C\text{'}A\text{'}$，得△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$，则 $\tan \angle A\text{'}C\text{'}B\text{'}=$　　．