初中数学解直角三角形试题

在平面直角坐标系中，如果点 $P$坐标为 $(m,n)$，向量 $\overrightarrow{\mathit{OP}}$可以用点 $P$的坐标表示为 $\overrightarrow{\mathit{OP}}=(m,n)$．

已知： $\overrightarrow{\mathit{OA}}=(x_1$， $y_1)$， $\overrightarrow{\mathit{OB}}=(x_2$， $y_2)$，如果 $x_1·x_2+y_1·y_2=0$，那么 $\overrightarrow{\mathit{OA}}$与 $\overrightarrow{\mathit{OB}}$互相垂直，下列四组向量：

① $\overrightarrow{\mathit{OC}}=(2,1)$， $\overrightarrow{\mathit{OD}}=(-1,2)$；

② $\overrightarrow{\mathit{OE}}=(\cos 30°,\tan 45°)$， $\overrightarrow{\mathit{OF}}=(1,\sin 60°)$；

③ $\overrightarrow{\mathit{OG}}=(\sqrt{3}-\sqrt{2}$， $-2)$， $\overrightarrow{\mathit{OH}}=(\sqrt{3}+\sqrt{2}$， $\frac{1}{2})$；

④ $\overrightarrow{\mathit{OM}}=({\pi }^0$， $2)$， $\overrightarrow{\mathit{ON}}=(2,-1)$．

其中互相垂直的是　　（填上所有正确答案的符号）．

在 $▱\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BD}=10$， $\sin \angle \mathit{BDC}=\frac{3}{5}$，则 $▱\mathit{ABCD}$的面积是　　．

已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是圆上一点， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$，如图①．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BD}$的长；

（3）如图②，若 $F$是 $\mathit{OA}$中点， $\mathit{FG}\perp \mathit{OA}$交直线 $\mathit{DE}$于点 $G$，若 $\mathit{FG}=\frac{19}{4}$， $\tan \angle \mathit{BAD}=\frac{3}{4}$，求 $\odot O$的半径．

菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=60°$，其周长为 $24\mathit{cm}$，则菱形的面积为　　 $c{m}^2$．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，以点 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径画弧交 $\mathit{AD}$于点 $F$，再分别以点 $B$、 $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{BF}$的相同长为半径画弧，两弧交于点 $P$；连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{EF}$，则所得四边形 $\mathit{ABEF}$是菱形．

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 $\mathit{ABEF}$是菱形；

（2）若菱形 $\mathit{ABEF}$的周长为16， $\mathit{AE}=4\sqrt{3}$，求 $\angle C$的大小．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=30°$，点 $D$是 $\mathit{CB}$延长线上的一点，且 $\mathit{BD}=\mathit{BA}$，则 $\tan \angle \mathit{DAC}$的值为 $($　　 $)$

A． $2+\sqrt{3}$B． $2\sqrt{3}$C． $3+\sqrt{3}$D． $3\sqrt{3}$

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$切 $\odot O$于点 $C$，与 $\mathit{BA}$的延长线交于点 $D$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CB}$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{CE}$于点 $F$，延长 $\mathit{AF}$交 $\mathit{BC}$于点 $P$．

（1）求证： $\mathit{CA}=\mathit{CP}$；

（2）连接 $\mathit{OF}$，若 $\mathit{AC}=\sqrt{3}$， $\angle D=30°$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=8$，则 $\mathit{BC}$的长是 $($　　 $)$

A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$B．4C． $8\sqrt{3}$D． $4\sqrt{3}$

已知在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上一动点（不与点 $B$， $D$重合），连接 $\mathit{AE}$，以 $\mathit{AE}$为边在 $\mathit{AE}$的右侧作菱形 $\mathit{AEFG}$，且 $\angle \mathit{AEF}=60°$．

（1）如图1，若点 $F$落在线段 $\mathit{BD}$上，请判断：线段 $\mathit{EF}$与线段 $\mathit{DF}$的数量关系是 　  

（2）如图2，若点 $F$不在线段 $\mathit{BD}$上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；

（3）若点 $C$， $E$， $G$三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段 $\mathit{BE}$与线段 $\mathit{BD}$的数量关系．

阅读理解：

问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$为底边 $\mathit{BC}$上的任意一点， $\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，求证： $\mathit{PD}+\mathit{PF}$是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？

思路：我们可以将底边 $\mathit{BC}$上的任意一点 $P$移动到特殊的位置，如图②，将点 $P$移动到底边的端点 $B$处，这样，点 $P$、 $D$都与点 $B$重合，此时， $\mathit{PD}=0$， $\mathit{PE}=\mathit{BE}$，这样 $\mathit{PD}+\mathit{PE}=\mathit{BE}$．因此，在证明这一命题时，我们可以过点 $B$作 $\mathit{AC}$边上的高 $\mathit{BF}$（如图③ $)$，证明 $\mathit{PD}+\mathit{PE}=\mathit{BF}$即可．

请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：

如图④，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，一直角三角板的直角顶点 $E$在对角线 $\mathit{BD}$上运动，一条直角边始终经过点 $C$，另一条直角边与射线 $\mathit{DA}$相交于点 $F$，过点 $F$作 $\mathit{FH}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$．

（1）试猜想 $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并加以证明；

（2）当点 $E$在 $\mathit{DB}$的延长线上运动时， $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；

（3）如图⑥所示，如果将正方形 $\mathit{ABCD}$改为矩形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ADB}=\theta$，其它条件不变，请直接写出 $\mathit{EH}$与 $\mathit{CD}$的数量关系．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCE}$；

（2）如图2，延长 $\mathit{BE}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$在直线 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{FG}=\mathit{FB}$．

①求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{FG}$；

②已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，若点 $E$在对角线 $\mathit{AC}$上移动，当 $\mathit{\Delta BFG}$为等边三角形时，求线段 $\mathit{DE}$的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}>\mathit{AC}$，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{DE}$， $\angle \mathit{ACB}+\angle \mathit{ADE}=180°$，作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$．

（1）如图 $a$，当 $\angle \mathit{ACB}=90°$时，连接 $\mathit{CD}$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{CD}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$．

①求证： $\mathit{FA}=\mathit{DE}$；

②请猜想三条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CH}$之间的数量关系，直接写出结论；

（2）如图 $b$，当 $\angle \mathit{ACB}=120°$时，三条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CH}$之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $E$，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AE}$．

小明经探究发现，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，得到 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{BEA}$，从而可证 $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BAE}$（如图 $2)$，使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答： $\mathit{\Delta ABF}$与 $\mathit{\Delta BAE}$全等的条件是　　（填“ $\mathit{SSS}$”、“ $\mathit{SAS}$”、“ $\mathit{ASA}$”、“ $\mathit{AAS}$”或“ $\mathit{HL}$”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $E$为 $\mathit{DC}$的中点，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{EAC}$，若 $\mathit{CF}=2$，求 $\mathit{AB}$的长；

（3）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$边上，且 $\mathit{AD}=\mathit{kDB}$（其中 $0<k<\frac{\sqrt{3}}{3})$， $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{BCD}$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$的值（用含 $k$的式子表示）．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AD}$为 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，以 $\mathit{AB}$上一点 $O$为圆心的半圆经过 $A$、 $D$两点，交 $\mathit{AB}$于 $E$，连接 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）判断 $\mathit{BC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{OF}:\mathit{FC}=2:3$， $\mathit{CD}=3$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$上的点， $\mathit{BE}=2\mathit{CE}$，将矩形沿着过点 $E$的直线翻折后，点 $C$、 $D$分别落在边 $\mathit{BC}$下方的点 $C_1$、 $D_1$处，且点 $C_1$、 $D_1$、 $B$在同一条直线上，折痕与边 $\mathit{AD}$交于点 $F$， $D_{1}F$与 $\mathit{BE}$交于点 $G$．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$，那么 $\mathit{\Delta EFG}$的周长为 $($　　 $)$

A． $4\sqrt{3}$B． $2+2\sqrt{3}$C． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$D．6