如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于

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更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度中等
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如图，在平面直角坐标系中，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象在第二象限交于点 $C$ ， $CE ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ， $\tan ∠ ABO = \frac{1}{2}$ ， $OB = 4$ ， $OE = 2$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点 $D$ 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 $D$ 作 $DF ⊥ y$ 轴，垂足为点 $F$ ，连接 $OD$ 、 $BF$ ．如果 $S_{ΔBAF} = 4 S_{ΔDFO}$ ，求点 $D$ 的坐标．

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下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接 $BD$ 交 $AF$ 于点 $H$ ． $\dots$

请参考上面的思路，证明点 $M$ 是 $DE$ 的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当 $∠ ABE = 135 °$ 时，延长 $AD$ 、 $EF$ 交于点 $N$ ，求 $\frac{AM}{NE}$ 的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\frac{AF}{AB} = k (k$ 为大于 $\sqrt{2}$ 的常数），直接用含 $k$ 的代数式表示 $\frac{AM}{MF}$ 的值．

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时间 $x$ （天）	$1 ⩽ x < 9$	$9 ⩽ x < 15$	$x ⩾ 15$
售价（元 $/$ 斤）	第1次降价后的价格	第2次降价后的价格
销量（斤）	$80 - 3 x$	$120 - x$
储存和损耗费用（元）	$40 + 3 x$	$3 x^{2} - 64 x + 400$

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

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