如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC5，反比例函

如图1， $▱ OABC$ 的边 $OC$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $OC = 5$ ，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (1, 4)$ ．

（1）求反比例函数的关系式和点 $B$ 的坐标；

（2）如图2，过 $BC$ 的中点 $D$ 作 $DP / / x$ 轴交反比例函数图象于点 $P$ ，连接 $AP$ 、 $OP$ ．

①求 $ΔAOP$ 的面积；

②在 $▱ OABC$ 的边上是否存在点 $M$ ，使得 $ΔPOM$ 是以 $PO$ 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）求 $b$ 的值，并用含 $m$ 的代数式表示 $c$ ；

（2）若抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴有公共点，求 $m$ 的值；

（3）设 $(a, y_{1})$ 、 $(a + 2, y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 上的两点，请比较 $y_{2} - y_{1}$ 与0的大小，并说明理由．

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