初中数学锐角三角函数的定义解答题

已知点 $E$ 为正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AD}$ 上一点，连接 $\mathit{BE}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CN}\perp \mathit{BE}$ ，垂足为 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta BCN}$ ；

（2）若 $N$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点，求 $\tan \angle \mathit{ABE}$ ．

矩形 $\mathit{AOBC}$中， $\mathit{OB}=4$， $\mathit{OA}=3$．分别以 $\mathit{OB}$， $\mathit{OA}$所在直线为 $x$轴， $y$轴，建立如图1所示的平面直角坐标系． $F$是 $\mathit{BC}$边上一个动点（不与 $B$， $C$重合），过点 $F$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象与边 $\mathit{AC}$交于点 $E$．

（1）当点 $F$运动到边 $\mathit{BC}$的中点时，求点 $E$的坐标；

（2）连接 $\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{EFC}$的正切值；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta CEF}$沿 $\mathit{EF}$折叠，点 $C$恰好落在边 $\mathit{OB}$上的点 $G$处，求此时反比例函数的解析式．

如图，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 $A$， $B$， $C$的坐标分别为 $A(-2,3)$， $B(-5,1)$， $C(-3,1)$．先将 $\mathit{\Delta ABC}$沿一个确定方向平移，得到△ $A_1{B}_1{C}_1$，点 $B$的对应点 $B_1$的坐标是 $(1,2)$；再将△ $A_1{B}_1{C}_1$绕原点 $O$顺时针旋转 $90°$，得到△ $A_2{B}_2{C}_2$，点 $A_1$的对应点为 $A_2$．

（1）画出△ $A_1{B}_1{C}_1$，并直接写出点 $A_1$的坐标；

（2）画出△ $A_2{B}_2{C}_2$，并直接写出 $\cos B$的值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BD}=8$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AD}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

（1）求 $\mathit{AM}$ 的长．

（2） $\tan \angle \mathit{MBO}$ 的值为 　　．

已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{CD}$为 $\angle \mathit{ACB}$的平分线，将 $\angle \mathit{ACB}$沿 $\mathit{CD}$所在的直线对折，使点 $B$落在点 $B\text{'}$处，连接 $A{B}^{\text{'}}$， $B{B}^{\text{'}}$，延长 $\mathit{CD}$交 $B{B}^{\text{'}}$于点 $E$，设 $\angle \mathit{ABC}=2\alpha (0°<\alpha <45°)$．

（1）如图1，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，求证： $\mathit{CD}=2\mathit{BE}$；

（2）如图2，若 $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$，试求 $\mathit{CD}$与 $\mathit{BE}$的数量关系（用含 $\alpha$的式子表示）；

（3）如图3，将（2）中的线段 $\mathit{BC}$绕点 $C$逆时针旋转角 $(\alpha +45°)$，得到线段 $\mathit{FC}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $O$，设 $\mathit{\Delta COE}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta COF}$的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$（用含 $\alpha$的式子表示）．

如图，点 $M$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{CD}$上一点，连接 $\mathit{AM}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AM}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AM}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）已知 $\mathit{AF}=2$，四边形 $\mathit{ABED}$的面积为24，求 $\angle \mathit{EBF}$的正弦值．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于 $E$， $\odot O$的切线交 $\mathit{AD}$的延长线于 $F$．

（1）求证：直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$相切；

（2）已知 $\mathit{DG}\perp \mathit{AB}$且 $\mathit{DE}=4$， $\odot O$的半径为5，求 $\tan \angle F$的值．

问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$， $N$和 $E$， $C$， $\mathit{DN}$和 $\mathit{EC}$相交于点 $P$，求 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $\angle \mathit{CPN}$不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$， $N$，可得 $\mathit{MN}//\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{DNM}=\angle \mathit{CPN}$，连接 $\mathit{DM}$，那么 $\angle \mathit{CPN}$就变换到 $\text{Rt}\Delta \text{DMN}$中．

问题解决

（1）直接写出图1中 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中， $\mathit{AN}$与 $\mathit{CM}$相交于点 $P$，求 $\cos \angle \mathit{CPN}$的值；

思维拓展

（3）如图3， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=4\mathit{BC}$，点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{BC}$，延长 $\mathit{CB}$到 $N$，使 $\mathit{BN}=2\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AN}$交 $\mathit{CM}$的延长线于点 $P$，用上述方法构造网格求 $\angle \mathit{CPN}$的度数．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $A$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BDC}}$的中点， $\mathit{AE}\perp \mathit{AC}$于 $A$，与 $\odot O$及 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $F$、 $E$，且 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}=\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADC}\backsim \mathit{\Delta EBA}$；

（2）如果 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\tan \angle \mathit{CAD}$的值．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAB}$，已知 $\mathit{CE}=6$， $\mathit{BE}=8$， $\mathit{DE}=10$．

（1）求证： $\angle \mathit{BEC}=90°$；

（2）求 $\cos \angle \mathit{DAE}$．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，以点 $C$ 为圆心， $\mathit{CB}$ 为半径作 $\odot C$ ， $D$ 为 $\odot C$ 上一点，连接 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 是 $\odot C$ 的切线；

（2）延长 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，若 $S_{\mathit{\Delta EDC}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求 $\tan \angle \mathit{BAC}$ 的值．

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过 $\mathit{Rt}△\mathit{ACD}$的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点， $\angle C＝90°$，连接AF．

（1）求证：直线CD是⊙O切线．

（2）若 $\mathit{BD}＝2$， $\mathit{OB}＝4$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{AFC}$的值．

如图， $\mathit{AB}$为圆 $O$的直径， $C$为圆 $O$上一点， $D$为 $\mathit{BC}$延长线一点，且 $\mathit{BC}=\mathit{CD}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$．

（1）求证：直线 $\mathit{EC}$为圆 $O$的切线；

（2）设 $\mathit{BE}$与圆 $O$交于点 $F$， $\mathit{AF}$的延长线与 $\mathit{CE}$交于点 $P$，已知 $\angle \mathit{PCF}=\angle \mathit{CBF}$， $\mathit{PC}=5$， $\mathit{PF}=4$，求 $\sin \angle \mathit{PEF}$的值．

平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=60°$， $\mathit{AB}=2\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$的中垂线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$于点 $E$， $F$，垂足为 $O$．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$；

（2）若 $\mathit{AD}=6$，求 $\tan \angle \mathit{ABD}$的值．

小明在某次作业中得到如下结果：

sin²7°+sin²83°≈0.12²+0.99²=0.9945，

sin²22°+sin²68°≈0.37²+0.93²=1.0018，

sin²29°+sin²61°≈0.48²+0.87²=0.9873，

sin²37°+sin²53°≈0.60²+0.80²=1.0000，

${\sin }^2{45}^{\circ }+{\sin }^2{45}^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1$

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α+sin²（90°-α）=1．

（Ⅰ）当α=30°时，验证sin²α+sin²（90°-α）=1是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．