小明在某次作业中得到如下结果：sin27°sin283°≈0

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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小明在某次作业中得到如下结果：

sin²7°+sin²83°≈0.12²+0.99²=0.9945，

sin²22°+sin²68°≈0.37²+0.93²=1.0018，

sin²29°+sin²61°≈0.48²+0.87²=0.9873，

sin²37°+sin²53°≈0.60²+0.80²=1.0000，

$\sin^{2} 45^{\circ} + \sin^{2} 45^{\circ} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 1$

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α+sin²（90°-α）=1．

（Ⅰ）当α=30°时，验证sin²α+sin²（90°-α）=1是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

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如图，已知在 $⊙ O$ 中， $\hat{AB} = \hat{BC} = \hat{CD}$ ， $OC$ 与 $AD$ 相交于点 $E$ ．

求证：（1） $AD / / BC$ ；

（2）四边形 $BCDE$ 为菱形．

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $y = \{\begin{matrix} \frac{3}{x}, x ⩽ - 1, \\ 3 x, - 1 < x ⩽ 1, \\ \frac{3}{x}, x ⩾ 1 \cdot \end{matrix}$

（1）画出函数图象；

列表：

$x$	$\dots$	$- 3$								$\dots$
$y$	$\dots$									$. \dots$

描点，连线得到函数图象：

（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；

（3）设 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $(x_{2}$ ， $y_{2})$ 是函数图象上的点，若 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，证明： $y_{1} + y_{2} = 0$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 $C$ 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $A$ 处驶来，已知 $CM = 3 m$ ， $CO = 5 m$ ， $DO = 3 m$ ， $∠ AOD = 70 °$ ，汽车从 $A$ 处前行多少米才能发现 $C$ 处的儿童（结果保留整数）？

（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ； $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75)$

题型：未知
难度：未知

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实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元） $:$

0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69

0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89

研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：

分组	频数
$0.65 ⩽ x < 0.70$	2
$0.70 ⩽ x < 0.75$	3
$0.75 ⩽ x < 0.80$	1
$0.80 ⩽ x < 0.85$	$a$
$0.85 ⩽ x < 0.90$	4
$0.90 ⩽ x < 0.95$	2
$0.95 ⩽ x < 1.00$	$b$

统计量	平均数	中位数	众数
数值	0.84	$c$	$d$

（1）表格中： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　， $d =$ 　　；

（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；

（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A$ ， $C$ 两点坐标分别是 $A (1, 0)$ ， $C (0, - 2)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求抛物线的表达式和 $AC$ 所在直线的表达式；

（2）将 $ΔABC$ 沿 $BC$ 所在直线折叠，得到 $ΔDBC$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 是否落在抛物线的对称轴上，若点 $D$ 在对称轴上，请求出点 $D$ 的坐标；若点 $D$ 不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 $AP$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，连接 $BP$ ， $ΔBPQ$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $ΔABQ$ 的面积记为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值最大时点 $P$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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