初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=90°$，点 $D$为 $\mathit{AC}$上一点，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，且 $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{ACB}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{DE}$，若 $\angle A=30°$，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{DE}}$．

某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为斜边向外侧作 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$， $\text{Rt}\Delta \text{ACE}$， $\text{Rt}\Delta \text{BCF}$，若 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$，则面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系式为　    　；

推广验证

（2）如图3，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为边向外侧作任意 $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta BCF}$，满足 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$， $\angle D=\angle E=\angle F$，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 $\mathit{ABCDE}$中， $\angle A=\angle E=\angle C=105°$， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DE}=2$，点 $P$在 $\mathit{AE}$上， $\angle \mathit{ABP}=30°$， $\mathit{PE}=\sqrt{2}$，求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积．

如图，二次函数 $y=x^2-3x$的图象经过 $O(0,0)$， $A(4,4)$， $B(3,0)$三点，以点 $O$为位似中心，在 $y$轴的右侧将 $\mathit{\Delta OAB}$按相似比 $2:1$放大，得到△ $\mathit{OA}\text{'}B\text{'}$，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $O$， $A\text{'}$， $B\text{'}$三点．

（1）画出△ $\mathit{OA}\text{'}B\text{'}$，试求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的表达式；

（2）点 $P(m,n)$在二次函数 $y=x^2-3x$的图象上， $m\ne 0$，直线 $\mathit{OP}$与二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象交于点 $Q$（异于点 $O)$．

①求点 $Q$的坐标（横、纵坐标均用含 $m$的代数式表示）

②连接 $\mathit{AP}$，若 $2\mathit{AP}>\mathit{OQ}$，求 $m$的取值范围；

③当点 $Q$在第一象限内，过点 $Q$作 $\mathit{QQ}\text{'}$平行于 $x$轴，与二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象交于另一点 $Q\text{'}$，与二次函数 $y=x^2-3x$的图象交于点 $M$， $N(M$在 $N$的左侧），直线 $\mathit{OQ}\text{'}$与二次函数 $y=x^2-3x$的图象交于点 $P\text{'}$．△ $Q\text{'}P\text{'}M\backsim$△ $\mathit{QB}\text{'}N$，则线段 $\mathit{NQ}$的长度等于　 ．

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图1，平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=10$，点 $P$在边 $\mathit{AD}$上运动，以 $P$为圆心， $\mathit{PA}$为半径的 $\odot P$与对角线 $\mathit{AC}$交于 $A$， $E$两点．

（1）如图2，当 $\odot P$与边 $\mathit{CD}$相切于点 $F$时，求 $\mathit{AP}$的长；

（2）不难发现，当 $\odot P$与边 $\mathit{CD}$相切时， $\odot P$与平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边有三个公共点，随着 $\mathit{AP}$的变化， $\odot P$与平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的 $\mathit{AP}$的值的取值范围　　．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A(-9,0)$， $B(0,6)$两点，过点 $C(2,0)$作直线 $l$与 $\mathit{BC}$垂直，点 $E$在直线 $l$位于 $x$轴上方的部分．

（1）求一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ACE}$的面积为11，求点 $E$的坐标；

（3）当 $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ABO}$时，点 $E$的坐标为　 $(11,3)$　．

如图1，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形，点 $A$的坐标为 $(3,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,6)$，点 $P$从点 $O$出发，沿 $\mathit{OA}$以每秒1个单位长度的速度向点 $A$运动，同时点 $Q$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动，当点 $P$与点 $A$重合时运动停止．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=2$时，线段 $\mathit{PQ}$的中点坐标为　　；

（2）当 $\mathit{\Delta CBQ}$与 $\mathit{\Delta PAQ}$相似时，求 $t$的值；

（3）当 $t=1$时，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $P$， $Q$两点，与 $y$轴交于点 $M$，抛物线的顶点为 $K$，如图2所示，问该抛物线上是否存在点 $D$，使 $\angle \mathit{MQD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{MKQ}$？若存在，求出所有满足条件的 $D$的坐标；若不存在，说明理由．

【发现】如图①，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，将直角三角板的 $60°$角顶点 $D$任意放在 $\mathit{BC}$边上（点 $D$不与点 $B$、 $C$重合），使两边分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$， $\mathit{BD}=2$，则 $\mathit{CF}=$　　；

（2）求证： $\mathit{\Delta EBD}\backsim \mathit{\Delta DCF}$．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$在 $\mathit{BC}$边上移动，保持三角板与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的两个交点 $E$、 $F$都存在，连接 $\mathit{EF}$，如图②所示，问：点 $D$是否存在某一位置，使 $\mathit{ED}$平分 $\angle \mathit{BEF}$且 $\mathit{FD}$平分 $\angle \mathit{CFE}$？若存在，求出 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}$的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$处（其中 $\angle \mathit{MON}=\angle B)$，使两条边分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$（点 $E$、 $F$均不与 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点重合），连接 $\mathit{EF}$．设 $\angle B=\alpha$，则 $\mathit{\Delta AEF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的周长之比为　　（用含 $\alpha$的表达式表示）．

如图，在以线段 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上取一点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．将 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{AB}$翻折后得到 $\mathit{\Delta ABD}$．

（1）试说明点 $D$在 $\odot O$上；

（2）在线段 $\mathit{AD}$的延长线上取一点 $E$，使 $A{B}^2=\mathit{AC}·\mathit{AE}$．求证： $\mathit{BE}$为 $\odot O$的切线；

（3）在（2）的条件下，分别延长线段 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CB}$相交于点 $F$，若 $\mathit{BC}=2$， $\mathit{AC}=4$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

如图，将等腰直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$对折，折痕为 $\mathit{CD}$．展平后，再将点 $B$折叠在边 $\mathit{AC}$上（不与 $A$、 $C$重合），折痕为 $\mathit{EF}$，点 $B$在 $\mathit{AC}$上的对应点为 $M$，设 $\mathit{CD}$与 $\mathit{EM}$交于点 $P$，连接 $\mathit{PF}$．已知 $\mathit{BC}=4$．

（1）若 $M$为 $\mathit{AC}$的中点，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AC}$上取不同的位置，

① $\mathit{\Delta PFM}$的形状是否发生变化？请说明理由；

②求 $\mathit{\Delta PFM}$的周长的取值范围．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=m$， $\mathit{BC}=n$，将此矩形绕点 $B$顺时针方向旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$得到矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$，点 $A_1$在边 $\mathit{CD}$上．

（1）若 $m=2$， $n=1$，求在旋转过程中，点 $D$到点 $D_1$所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$继续绕点 $B$顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2}B{C}_2{D}_2$，点 $D_2$在 $\mathit{BC}$的延长线上，设边 $A_{2}B$与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，若 $\frac{A_{1}E}{\mathit{EC}}=\sqrt{6}-1$，求 $\frac{n}{m}$的值．

如图，在边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$中，动点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $B$的对应点 $M$始终落在边 $\mathit{AD}$上（点 $M$不与点 $A$、 $D$重合），点 $C$落在点 $N$处， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CD}$交于点 $P$，设 $\mathit{BE}=x$．

（1）当 $\mathit{AM}=\frac{1}{3}$时，求 $x$的值；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AD}$上位置的变化， $\mathit{\Delta PDM}$的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）设四边形 $\mathit{BEFC}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数表达式，并求出 $S$的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=(x-a)(x-3)(0<a<3)$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $D$，过其顶点 $C$作直线 $\mathit{CP}\perp x$轴，垂足为点 $P$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求点 $A$、 $B$、 $D$的坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta AOD}$与 $\mathit{\Delta BPC}$相似，求 $a$的值；

（3）点 $D$、 $O$、 $C$、 $B$能否在同一个圆上？若能，求出 $a$的值；若不能，请说明理由．

如图①，直线 $l$表示一条东西走向的笔直公路，四边形 $\mathit{ABCD}$是一块边长为100米的正方形草地，点 $A$， $D$在直线 $l$上，小明从点 $A$出发，沿公路 $l$向西走了若干米后到达点 $E$处，然后转身沿射线 $\mathit{EB}$方向走到点 $F$处，接着又改变方向沿射线 $\mathit{FC}$方向走到公路 $l$上的点 $G$处，最后沿公路 $l$回到点 $A$处．设 $\mathit{AE}=x$米（其中 $x>0)$， $\mathit{GA}=y$米，已知 $y$与 $x$之间的函数关系如图②所示，

（1）求图②中线段 $\mathit{MN}$所在直线的函数表达式；

（2）试问小明从起点 $A$出发直至最后回到点 $A$处，所走过的路径（即 $\mathit{\Delta EFG})$是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 $x$的值；如果不可以，说明理由．