初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，直线 $\mathit{BC}$与 $\odot O$相切于点 $B$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//\mathit{OC}$交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{AD}=4$，直径 $\mathit{AB}=12$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$．且 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{4}{3}\mathit{DC}$，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$的值．

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过 $\mathit{Rt}△\mathit{ACD}$的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点， $\angle C＝90°$，连接AF．

（1）求证：直线CD是⊙O切线．

（2）若 $\mathit{BD}＝2$， $\mathit{OB}＝4$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{AFC}$的值．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $G$分别是边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AF}=\frac{1}{4}\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{EF}\perp \mathit{AG}$；

（2）若点 $F$、 $G$分别在射线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上同时向右、向上运动，点 $G$运动速度是点 $F$运动速度的2倍， $\mathit{EF}\perp \mathit{AG}$是否成立（只写结果，不需说明理由）？

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$内一点，当 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$周长的最小值．

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图， $\odot O$与 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$和斜边 $\mathit{AB}$分别相切于点 $C$、 $D$，与边 $\mathit{BC}$相交于点 $F$， $\mathit{OA}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $E$，连接 $\mathit{FE}$并延长交 $\mathit{AC}$边于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DF}//\mathit{AO}$；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{AB}=10$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中线，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{MN}$ 于 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGD}\backsim \mathit{\Delta DMA}$ ；

（2）求证：直线 $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{AF}$折叠，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上的点 $E$处，过点 $E$作 $\mathit{EG}//\mathit{CD}$交 $\mathit{AF}$于点 $G$，连接 $\mathit{DG}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{EFDG}$是菱形；

（2）探究线段 $\mathit{EG}$、 $\mathit{GF}$、 $\mathit{AF}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AG}=6$， $\mathit{EG}=2\sqrt{5}$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A(-9,0)$， $B(0,6)$两点，过点 $C(2,0)$作直线 $l$与 $\mathit{BC}$垂直，点 $E$在直线 $l$位于 $x$轴上方的部分．

（1）求一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ACE}$的面积为11，求点 $E$的坐标；

（3）当 $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ABO}$时，点 $E$的坐标为　 $(11,3)$　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=\angle B=90°$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于 $E$，若 $\mathit{DE}=\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DE}$于点 $F$，若 $\angle \mathit{ADE}=30°$， $\mathit{AD}=6$，求 $\mathit{DF}$的长．

阅读与思考

请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系： $F=\frac{9}{5}C+32$得出，当 $C=10$时， $F=50$．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种根据特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以根据公式 $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$求得 $R$的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个 $120°$的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式 $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$计算：当 $R_1=7.5$， $R_2=5$时， $R$的值为多少；

②如图，在 $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=120°$， $\mathit{OC}$是 $\mathit{\Delta AOB}$的角平分线， $\mathit{OA}=7.5$， $\mathit{OB}=5$，用你所学的几何知识求线段 $\mathit{OC}$的长．

如图， $O$ 为线段 $\mathit{PB}$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 长为半径的 $\odot O$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $A$ ，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，连接 $\mathit{PC}$ ，满足 $P{C}^2=\mathit{PA}\cdot \mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=3\mathit{PA}$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CA}=6$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$是 $\angle \mathit{ABC}$的平分线， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，求 $\mathit{AE}$的长．