初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图，一张三角形纸片 $\mathit{ABC}$，其中 $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=3$．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点 $A$落在 $C$处；将纸片展平做第二次折叠，使点 $B$落在 $C$处；再将纸片展平做第三次折叠，使点 $A$落在 $B$处．这三次折叠的折痕长依次记为 $a$， $b$， $c$，则 $a$， $b$， $c$的大小关系是 $($　　 $)$

A． $c>a>b$B． $b>a>c$C． $c>b>a$D． $b>c>a$

如图．在中，，，是的角平分线，过点作交边于点．若，则图中阴影部分的面积为　　

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $D$是 $\mathit{AC}$边上的一点， $\mathit{DE}$垂直平分 $\mathit{AB}$，垂足为点 $E$．若 $\mathit{AC}=8$， $\mathit{BC}=6$，则线段 $\mathit{DE}$的长度为　　．

某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了"望月阁"及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量"望月阁"的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与"望月阁"底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和"望月阁"之间的直线 $\mathit{BM}$ 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 $\mathit{BM}$ 上的对应位置为点 $C$ ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 $D$ 时，看到"望月阁"顶端点 $A$ 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度 $\mathit{ED}=1.5$ 米， $\mathit{CD}=2$ 米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从 $D$ 点沿 $\mathit{DM}$ 方向走了16米，到达"望月阁"影子的末端 $F$ 点处，此时，测得小亮身高 $\mathit{FG}$ 的影长 $\mathit{FH}=2.5$ 米， $\mathit{FG}=1.65$ 米．

如图，已知 $\mathit{AB}\perp \mathit{BM}$ ， $\mathit{ED}\perp \mathit{BM}$ ， $\mathit{GF}\perp \mathit{BM}$ ，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出"望月阁"的高 $\mathit{AB}$ 的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在 $\odot O$上， $\mathit{AD}$的延长线与过点 $B$的切线交于点 $C$， $E$为线段 $\mathit{AD}$上的点，过点 $E$的弦 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $H$．

（1）求证： $\angle C=\angle \mathit{AGD}$；

（2）已知 $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=4$，且 $\mathit{CE}=2\mathit{AE}$，求 $\mathit{EF}$的长．

阅读下面材料，完成（1） $-$（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$、 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AB}=\mathit{kBD}$（其中 $\frac{\sqrt{2}}{2}<k<1)\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}+\angle \mathit{BAE}$， $\angle \mathit{EAC}$的平分线与 $\mathit{BC}$相交于点 $F$， $\mathit{BG}\perp \mathit{AF}$，垂足为 $G$，探究线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现 $\angle \mathit{BAE}$与 $\angle \mathit{DAC}$相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系．”

$\dots \dots$

老师：“保留原题条件，延长图1中的 $\mathit{BG}$，与 $\mathit{AC}$相交于点 $H$（如图 $2)$，可以求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{HC}}$的值．”

（1）求证： $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAC}$；

（2）探究线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系（用含 $k$的代数式表示），并证明；

（3）直接写出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{HC}}$的值（用含 $k$的代数式表示）．

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $\mathit{ABCD}$ 如图所示．过点 $D$ 作 $\mathit{DF}$ 的垂线交小正方形对角线 $\mathit{EF}$ 的延长线于点 $G$ ，连结 $\mathit{CG}$ ，延长 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{CG}$ 于点 $H$ ．若 $\mathit{AE}=2\mathit{BE}$ ，则 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BH}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\frac{3\sqrt{10}}{7}$

D．

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ， $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ，若 $\mathit{OE}=3$ ， $\mathit{OB}=5$ ，则 $\mathit{CD}$ 的长度是 $($ 　　 $)$

A．

9.6

B．

$4\sqrt{5}$

C．

$5\sqrt{3}$

D．

10

如图所示，已知在梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\frac{S_{\mathit{\Delta ABD}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta BOC}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=$ 　　．

如图， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$ ，交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证 $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta DOC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以其三边为边向外作正方形，过点 $C$作 $\mathit{CR}\perp \mathit{FG}$于点 $R$，再过点 $C$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{CR}$分别交边 $\mathit{DE}$， $\mathit{BH}$于点 $P$， $Q$．若 $\mathit{QH}=2\mathit{PE}$， $\mathit{PQ}=15$，则 $\mathit{CR}$的长为 $($　　 $)$

A．14B．15C． $8\sqrt{3}$D． $6\sqrt{5}$

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{BF}$与 $\mathit{EC}$、 $\mathit{ED}$分别交于点 $M$， $N$．已知 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$，则 $\mathit{MN}$的长为　 　．

如图，点 $P$为正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta DEF}$的外接圆，连接 $\mathit{DP}$．

（1）求证： $\mathit{DP}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDC}=\frac{1}{2}$，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，求 $\odot O$的半径和线段 $\mathit{OP}$的长．