初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图， 在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=8\mathit{cm}$，点 $P$从点 $B$出发， 沿对角线 $\mathit{BD}$向点 $D$匀速运动， 速度为 $4\mathit{cm}/s$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{BD}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，以 $\mathit{PQ}$为一边作正方形 $\mathit{PQMN}$，使得点 $N$落在射线 $\mathit{PD}$上， 点 $O$从点 $D$出发， 沿 $\mathit{DC}$向点 $C$匀速运动， 速度为 $3\mathit{cm}/s$，以 $O$为圆心， $0.8\mathit{cm}$为半径作 $\odot O$，点 $P$与点 $O$同时出发， 设它们的运动时间为 $t$（单 位： $s\left)\right(0<t<\frac{8}{5})$．

（1） 如图 1 ，连接 $\mathit{DQ}$平分 $\angle \mathit{BDC}$时， $t$的值为　   　；

（2） 如图 2 ，连接 $\mathit{CM}$，若 $\mathit{\Delta CMQ}$是以 $\mathit{CQ}$为底的等腰三角形， 求 $t$的值；

（3） 请你继续进行探究， 并解答下列问题：

①证明： 在运动过程中， 点 $O$始终在 $\mathit{QM}$所在直线的左侧；

②如图 3 ，在运动过程中， 当 $\mathit{QM}$与 $\odot O$相切时， 求 $t$的值；并判断此时 $\mathit{PM}$与 $\odot O$是否也相切？说明理由 ．

如图，中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为6的与的一边相切时，的长为　   　．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k<0)$的图象在第二象限交于 $A(-3,m)$， $B(n,2)$两点．

（1）当 $m=1$时，求一次函数的解析式；

（2）若点 $E$在 $x$轴上，满足 $\angle \mathit{AEB}=90°$，且 $\mathit{AE}=2-m$，求反比例函数的解析式．

如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于　　．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$、 $B$的坐标分别为 $(8,0)$、 $(0$， $2\sqrt{3})$， $C$是 $\mathit{AB}$的中点，过点 $C$作 $y$轴的垂线，垂足为 $D$，动点 $P$从点 $D$出发，沿 $\mathit{DC}$向点 $C$匀速运动，过点 $P$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{BP}$、 $\mathit{EC}$．当 $\mathit{BP}$所在直线与 $\mathit{EC}$所在直线第一次垂直时，点 $P$的坐标为　    　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ， $\mathit{PB}$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{PBA}=\angle \mathit{OBC}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{PBA}=20°$ ， $\angle \mathit{ACD}=40°$ ，求证： $\mathit{\Delta OAB}\backsim \mathit{\Delta CDE}$ ．

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $\mathit{ABCD}$ 如图所示．过点 $D$ 作 $\mathit{DF}$ 的垂线交小正方形对角线 $\mathit{EF}$ 的延长线于点 $G$ ，连结 $\mathit{CG}$ ，延长 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{CG}$ 于点 $H$ ．若 $\mathit{AE}=2\mathit{BE}$ ，则 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BH}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\frac{3\sqrt{10}}{7}$

D．

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ， $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ，若 $\mathit{OE}=3$ ， $\mathit{OB}=5$ ，则 $\mathit{CD}$ 的长度是 $($ 　　 $)$

A．

9.6

B．

$4\sqrt{5}$

C．

$5\sqrt{3}$

D．

10

如图所示，已知在梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\frac{S_{\mathit{\Delta ABD}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta BOC}}}{S_{\mathit{\Delta BCD}}}=$ 　　．

如图， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$ ，交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证 $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta DOC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以其三边为边向外作正方形，过点 $C$作 $\mathit{CR}\perp \mathit{FG}$于点 $R$，再过点 $C$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{CR}$分别交边 $\mathit{DE}$， $\mathit{BH}$于点 $P$， $Q$．若 $\mathit{QH}=2\mathit{PE}$， $\mathit{PQ}=15$，则 $\mathit{CR}$的长为 $($　　 $)$

A．14B．15C． $8\sqrt{3}$D． $6\sqrt{5}$

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{BF}$与 $\mathit{EC}$、 $\mathit{ED}$分别交于点 $M$， $N$．已知 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$，则 $\mathit{MN}$的长为　 　．

如图，点 $P$为正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的一点，连接 $\mathit{BP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta DEF}$的外接圆，连接 $\mathit{DP}$．

（1）求证： $\mathit{DP}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDC}=\frac{1}{2}$，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，求 $\odot O$的半径和线段 $\mathit{OP}$的长．