初中数学旋转的性质填空题

如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转 $90°$，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为 $60°$，边长为2，则该“星形”的面积是　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转 $45°$后得到△ $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}$，则线段 $\mathit{BC}$在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是　　．

如图， $\mathit{\Delta OAC}$的顶点 $O$在坐标原点， $\mathit{OA}$边在 $x$轴上， $\mathit{OA}=2$， $\mathit{AC}=1$，把 $\mathit{\Delta OAC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转到△ $O\text{'}\mathit{AC}\text{'}$，使得点 $O\text{'}$的坐标是 $(1,\sqrt{3})$，则在旋转过程中线段 $\mathit{OC}$扫过部分（阴影部分）的面积为　　．

如图，将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$按逆时针方向旋转 $45°$后得到 $\mathit{\Delta COD}$，若 $\angle \mathit{AOB}=15°$，则 $\angle \mathit{AOD}$的度数是　　．

将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点 $D$在 $\mathit{AB}$边上， $\mathit{\Delta DEF}$绕点 $D$旋转，腰 $\mathit{DF}$和底边 $\mathit{DE}$分别交 $\mathit{\Delta CAB}$的两腰 $\mathit{CA}$， $\mathit{CB}$于 $M$， $N$两点，若 $\mathit{CA}=5$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}:\mathit{AB}=1:3$，则 $\mathit{MD}+\frac{12}{\mathit{MA}·\mathit{DN}}$的最小值为　　．

$\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，点 $O$是三条高的交点．若 $\mathit{\Delta ABC}$以点 $O$为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则 $\mathit{\Delta ABC}$旋转的最小角度是　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$得到线段 $\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，连接 $\mathit{PC}$，则三角形 $\mathit{PCE}$的面积为　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $A$与原点重合，点 $B$在 $y$轴的正半轴上，点 $D$在 $x$轴的负半轴上，将正方形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$逆时针旋转 $30°$至正方形 $A{B}^{\text{'}}C\text{'}D\text{'}$的位置， $B^{\text{'}}C\text{'}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $M$，则点 $M$的坐标为　　．

如图，已知 $\angle \mathit{MON}=120°$，点 $A$， $B$分别在 $\mathit{OM}$， $\mathit{ON}$上，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=a$，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得到 $\mathit{OM}\text{'}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <120°$且 $\alpha \ne 60°)$，作点 $A$关于直线 $\mathit{OM}\text{'}$的对称点 $C$，画直线 $\mathit{BC}$交 $\mathit{OM}\text{'}$于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$，有下列结论：

① $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

② $\angle \mathit{ACD}$的大小随着 $\alpha$的变化而变化；

③当 $\alpha =30°$时，四边形 $\mathit{OADC}$为菱形；

④ $\mathit{\Delta ACD}$面积的最大值为 $\sqrt{3}{a}^2$；

其中正确的是　     　．（把你认为正确结论的序号都填上）．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AB}=1$， $\angle A=60°$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，如图所示将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$沿直线 $l$无滑动地滚动至 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$，则点 $B$所经过的路径与直线 $l$所围成的封闭图形的面积为　           　．（结果不取近似值）

如图，边长为4的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$的中心与坐标原点 $O$重合， $\mathit{AF}//x$轴，将正六边形 $\mathit{ABCDEF}$绕原点 $O$顺时针旋转 $n$次，每次旋转 $60°$．当 $n=2017$时，顶点 $A$的坐标为　      　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2\sqrt{3}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$、 $E$都在边 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{DAE}=60°$．若 $\mathit{BD}=2\mathit{CE}$，则 $\mathit{DE}$的长为　       　．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=90°$， $\mathit{AO}=3\mathit{cm}$， $\mathit{BO}=4\mathit{cm}$．将 $\mathit{\Delta AOB}$绕顶点 $O$，按顺时针方向旋转到△ $A_{1}O{B}_1$处，此时线段 $O{B}_1$与 $\mathit{AB}$的交点 $D$恰好为 $\mathit{AB}$的中点，则线段 $B_{1}D=$　     　 $\mathit{cm}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=2$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$按顺时针方向旋转至

△ $A{B}_1{C}_1$的位置，点 $B_1$恰好落在边 $\mathit{BC}$的中点处，则 $C{C}_1$的长为　 　．

将边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$绕点 $C$按顺时针方向旋转到 $\mathit{FECG}$的位置（如图），使得点 $D$落在对角线 $\mathit{CF}$上， $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$相交于点 $H$，则 $\mathit{HD}=$　      　．（结果保留根号）