初中数学翻折变换（折叠问题）试题

如图，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平后再次折叠，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上的点 $A\text{'}$处，得到折痕 $\mathit{BM}$， $\mathit{BM}$与 $\mathit{EF}$相交于点 $N$．若直线 $\mathit{BA}\text{'}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $O$， $\mathit{BC}=5$， $\mathit{EN}=1$，则 $\mathit{OD}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}\sqrt{3}$B． $\frac{1}{3}\sqrt{3}$C． $\frac{1}{4}\sqrt{3}$D． $\frac{1}{5}\sqrt{3}$

如图是一张矩形纸片，点 $E$在 $\mathit{AB}$边上，把 $\mathit{\Delta BCE}$沿直线 $\mathit{CE}$对折，使点 $B$落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，连接 $\mathit{DF}$．若点 $E$， $F$， $D$在同一条直线上， $\mathit{AE}=2$，则 $\mathit{DF}=$　　， $\mathit{BE}=$　　．

在如图所示的平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=3$，将 $\mathit{\Delta ACD}$沿对角线 $\mathit{AC}$折叠，点 $D$落在 $\mathit{\Delta ABC}$所在平面内的点 $E$处，且 $\mathit{AE}$过 $\mathit{BC}$的中点 $O$，则 $\mathit{\Delta ADE}$的周长等于　　．

如图，把一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 $\mathit{BEF}$，若 $\mathit{BC}=1$，则 $\mathit{AB}$的长度为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{2}$B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$D． $\frac{4}{3}$

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{AF}$折叠，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上的点 $E$处，过点 $E$作 $\mathit{EG}//\mathit{CD}$交 $\mathit{AF}$于点 $G$，连接 $\mathit{DG}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{EFDG}$是菱形；

（2）探究线段 $\mathit{EG}$、 $\mathit{GF}$、 $\mathit{AF}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AG}=6$， $\mathit{EG}=2\sqrt{5}$，求 $\mathit{BE}$的长．

对角线长分别为6和8的菱形 $\mathit{ABCD}$如图所示，点 $O$为对角线的交点，过点 $O$折叠菱形，使 $B$， $B\text{'}$两点重合， $\mathit{MN}$是折痕．若 $B^{\text{'}}M=1$，则 $\mathit{CN}$的长为 $($　　 $)$

A．7B．6C．5D．4

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{AC}=6$ ，点 $E$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{AE}=1$ ， $D$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的一点，连接 $\mathit{DE}$ ，把四边形 $\mathit{ABDE}$ 沿直线 $\mathit{DE}$ 翻折，得到四边形 $F\mathit{GDE}$ ，当点 $G$ 恰好落在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\mathit{AF}=$ 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$， $\angle B=45°$， $\angle C=60°$．

（1）求 $\mathit{BC}$边上的高线长．

（2）点 $E$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $F$在边 $\mathit{AC}$上，连结 $\mathit{EF}$，沿 $\mathit{EF}$将 $\mathit{\Delta AEF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PEF}$．

①如图2，当点 $P$落在 $\mathit{BC}$上时，求 $\angle \mathit{AEP}$的度数．

②如图3，连结 $\mathit{AP}$，当 $\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$时，求 $\mathit{AP}$的长．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$（纸片）折叠，使点 $B$与 $\mathit{AD}$边上的点 $K$重合， $\mathit{EG}$为折痕；点 $C$与 $\mathit{AD}$边上的点 $K$重合， $\mathit{FH}$为折痕．已知 $\angle 1=67.5°$， $\angle 2=75°$， $\mathit{EF}=\sqrt{3}+1$，求 $\mathit{BC}$的长．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=12$， $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，把 $\mathit{\Delta PBC}$沿直线 $\mathit{PC}$折叠，顶点 $B$的对应点是点 $G$，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{CG}$，垂足为 $E$且在 $\mathit{AD}$上， $\mathit{BE}$交 $\mathit{PC}$于点 $F$．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{AD}$的中点，求证： $\mathit{\Delta AEB}\cong \mathit{\Delta DEC}$；

（2）如图2，①求证： $\mathit{BP}=\mathit{BF}$；

②当 $\mathit{AD}=25$，且 $\mathit{AE}<\mathit{DE}$时，求 $\cos \angle \mathit{PCB}$的值；

③当 $\mathit{BP}=9$时，求 $\mathit{BE}·\mathit{EF}$的值．

如图，有一张矩形纸条 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=5\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=2\mathit{cm}$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{CN}=1\mathit{cm}$．现将四边形 $\mathit{BCNM}$沿 $\mathit{MN}$折叠，使点 $B$， $C$分别落在点 $B^{\text{'}}$， $C^{\text{'}}$上．当点 $B^{\text{'}}$恰好落在边 $\mathit{CD}$上时，线段 $\mathit{BM}$的长为　　 $\mathit{cm}$；在点 $M$从点 $A$运动到点 $B$的过程中，若边 $M{B}^{\text{'}}$与边 $\mathit{CD}$交于点 $E$，则点 $E$相应运动的路径长为　　 $\mathit{cm}$．

如图，将面积为 $32\sqrt{2}$的矩形 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{BD}$折叠，点 $A$的对应点为点 $P$，连接 $\mathit{AP}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．若 $\mathit{BE}=\sqrt{2}$，则 $\mathit{AP}$的长为　        　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $G$是 $\mathit{BC}$的中点．将 $\mathit{\Delta ABG}$沿 $\mathit{AG}$对折至 $\mathit{\Delta AFG}$，延长 $\mathit{GF}$交 $\mathit{DC}$于点 $E$，则 $\mathit{DE}$的长是 $($　　 $)$

A．1B．1.5C．2D．2.5

如图，折叠矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，使点 $B$ 落在点 $D$ 处，折痕为 $\mathit{MN}$ ，已知 $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{MN}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{3}\sqrt{5}$

B．

$2\sqrt{5}$

C．

$\frac{7}{3}\sqrt{5}$

D．

$4\sqrt{5}$

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=m$， $D$是 $\mathit{AB}$边上的一点，将 $\angle B$沿着过点 $D$的直线折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边的点 $P$处（不与点 $A$， $C$重合），折痕交 $\mathit{BC}$边于点 $E$．

（1）特例感知 如图1，若 $\angle C=60°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，求证： $\mathit{AP}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$；

（2）变式求异 如图2，若 $\angle C=90°$， $m=6\sqrt{2}$， $\mathit{AD}=7$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，求 $\mathit{DH}$和 $\mathit{AP}$的长；

（3）化归探究 如图3，若 $m=10$， $\mathit{AB}=12$，且当 $\mathit{AD}=a$时，存在两次不同的折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上两个不同的位置，请直接写出 $a$的取值范围．