初中数学翻折变换（折叠问题）试题

如图，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{MN}$，将纸片展平；再一次折叠，使点 $D$落到 $\mathit{MN}$上的点 $F$处，折痕 $\mathit{AP}$交 $\mathit{MN}$于 $E$；延长 $\mathit{PF}$交 $\mathit{AB}$于 $G$．求证：

（1） $\mathit{\Delta AFG}\cong \mathit{\Delta AFP}$；

（2） $\mathit{\Delta APG}$为等边三角形．

如图是一张矩形纸片，点 $E$在 $\mathit{AB}$边上，把 $\mathit{\Delta BCE}$沿直线 $\mathit{CE}$对折，使点 $B$落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，连接 $\mathit{DF}$．若点 $E$， $F$， $D$在同一条直线上， $\mathit{AE}=2$，则 $\mathit{DF}=$　　， $\mathit{BE}=$　　．

如图，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$分别落在 $x$、 $y$轴上，点 $B$坐标为 $(6,4)$，反比例函数 $y=\frac{6}{x}$的图象与 $\mathit{AB}$边交于点 $D$，与 $\mathit{BC}$边交于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，将 $\mathit{\Delta BDE}$沿 $\mathit{DE}$翻折至△ $B^{\text{'}}\mathit{DE}$处，点 $B^{\text{'}}$恰好落在正比例函数 $y=\mathit{kx}$图象上，则 $k$的值是 $($　　 $)$

A． $-\frac{2}{5}$B． $-\frac{1}{21}$C． $-\frac{1}{5}$D． $-\frac{1}{24}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{DE}$，将 $\mathit{\Delta ADE}$沿 $\mathit{DE}$翻折，恰好使点 $A$落在 $\mathit{BC}$边的中点 $F$处，在 $\mathit{DF}$上取点 $O$，以 $O$为圆心， $\mathit{OF}$长为半径作半圆与 $\mathit{CD}$相切于点 $G$．若 $\mathit{AD}=4$，则图中阴影部分的面积为　 　．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，把 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿着 $\mathit{AC}$ 所在的直线折叠得到△ $\mathit{AB}\text{'}C$ ， $B\text{'}C$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连接 $B\text{'}D$ ，若 $\angle B=60°$ ， $\angle \mathit{ACB}=45°$ ， $\mathit{AC}=\sqrt{6}$ ，则 $B\text{'}D$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

$\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{3}$

D．

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 $\mathit{ABCD}$沿过点 $A$的直线折叠，使得点 $B$落在 $\mathit{CD}$上的点 $Q$处．折痕为 $\mathit{AP}$；再将 $\mathit{\Delta PCQ}$， $\mathit{\Delta ADQ}$分别沿 $\mathit{PQ}$， $\mathit{AQ}$折叠，此时点 $C$， $D$落在 $\mathit{AP}$上的同一点 $R$处．请完成下列探究：

（1） $\angle \mathit{PAQ}$的大小为　     ；

（2）当四边形 $\mathit{APCD}$是平行四边形时， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{QR}}$的值为　 　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，且 $\angle \mathit{CDE}=\angle B$，将 $\mathit{\Delta CDE}$沿 $\mathit{DE}$折叠，点 $C$恰好落在 $\mathit{AB}$边上的点 $F$处．若 $\mathit{AC}=8$， $\mathit{AB}=10$，则 $\mathit{CD}$的长为　     　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}=2$， $\angle \mathit{BAC}=30°$，斜边 $\mathit{AB}$的两个端点分别在相互垂直的射线 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$上滑动，下列结论：

①若 $C$、 $O$两点关于 $\mathit{AB}$对称，则 $\mathit{OA}=2\sqrt{3}$；

② $C$、 $O$两点距离的最大值为4；

③若 $\mathit{AB}$平分 $\mathit{CO}$，则 $\mathit{AB}\perp \mathit{CO}$；

④斜边 $\mathit{AB}$的中点 $D$运动路径的长为 $\frac{\pi }{2}$；

其中正确的是　     　（把你认为正确结论的序号都填上）．

将一个直角三角形纸片 $\mathit{OAB}$放置在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$，点 $A(2,0)$，点 $B$在第一象限， $\angle \mathit{OAB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $P$在边 $\mathit{OB}$上（点 $P$不与点 $O$， $B$重合）．

（Ⅰ）如图①，当 $\mathit{OP}=1$时，求点 $P$的坐标；

（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $P$，并与 $x$轴的正半轴相交于点 $Q$，且 $\mathit{OQ}=\mathit{OP}$，点 $O$的对应点为 $O^{\text{'}}$，设 $\mathit{OP}=t$．

①如图②，若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分为四边形， $O^{\text{'}}P$， $O^{\text{'}}Q$分别与边 $\mathit{AB}$相交于点 $C$， $D$，试用含有 $t$的式子表示 $O^{\text{'}}D$的长，并直接写出 $t$的取值范围；

②若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分的面积为 $S$，当 $1⩽t⩽3$时，求 $S$的取值范围（直接写出结果即可）．

如图，点 $O$是矩形纸片 $\mathit{ABCD}$的对称中心， $E$是 $\mathit{BC}$上一点，将纸片沿 $\mathit{AE}$折叠后，点 $B$恰好与点 $O$重合．若 $\mathit{BE}=3$，则折痕 $\mathit{AE}$的长为　   　．

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折叠后，点 $D$ 、 $C$ 分别落在点 $D_1$ 、 $C_1$ 的位置， $E{D}_1$ 的延长线交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ，若 $\angle \mathit{EFG}=64°$ ，则 $\angle \mathit{EGB}$ 等于 $($ 　　 $)$

A．

$128°$

B．

$130°$

C．

$132°$

D．

$136°$

如图，三角形纸片 $\mathit{ABC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{\Delta ABD}$沿着 $\mathit{AD}$翻折，得到 $\mathit{\Delta AED}$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．若 $\mathit{DG}=\mathit{GE}$， $\mathit{AF}=3$， $\mathit{BF}=2$， $\mathit{\Delta ADG}$的面积为2，则点 $F$到 $\mathit{BC}$的距离为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$为对角线，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BF}$所在直线折叠，使点 $A$落在 $\mathit{BD}$上的点 $M$处，点 $C$落在 $\mathit{BD}$上的点 $N$处，连结 $\mathit{EF}$．已知 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{EF}$的长为 $($　　 $)$

A．3B．5C． $\frac{5\sqrt{13}}{6}$D． $\sqrt{13}$

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，点 $B$落在点 $F$处， $\mathit{FC}$交 $\mathit{AD}$于 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AFE}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求图中阴影部分的面积．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为 $\mathit{AB}$的中点， $P$为 $\mathit{BC}$边上的任意一点，把 $\mathit{\Delta PBE}$沿 $\mathit{PE}$折叠，得到 $\mathit{\Delta PFE}$，连接 $\mathit{CF}$．若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{BC}=12$，则 $\mathit{CF}$的最小值为　　．