初中数学翻折变换（折叠问题）计算题

问题情境：如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为边 $\mathit{BC}$上一点（不与点 $B$、 $C$重合），垂直于 $\mathit{AE}$的一条直线 $\mathit{MN}$分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CD}$于点 $M$、 $P$、 $N$．判断线段 $\mathit{DN}$、 $\mathit{MB}$、 $\mathit{EC}$之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足 $P$恰好为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BD}$，交 $\mathit{MN}$于点 $Q$，连接 $\mathit{EQ}$，并延长交边 $\mathit{AD}$于点 $F$．求 $\angle \mathit{AEF}$的度数；

（2）如图3，当垂足 $P$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{BD}$上时，连接 $\mathit{AN}$，将 $\mathit{\Delta APN}$沿着 $\mathit{AN}$翻折，点 $P$落在点 $P^{\text{'}}$处，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $\mathit{AD}$的中点为 $S$，求 $P^{\text{'}}S$的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $M$、 $N$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上的点，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿着 $\mathit{MN}$翻折，使得 $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$恰好经过点 $A$， $C^{\text{'}}N$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．分别过点 $A$、 $F$作 $\mathit{AG}\perp \mathit{MN}$， $\mathit{FH}\perp \mathit{MN}$，垂足分别为 $G$、 $H$．若 $\mathit{AG}=\frac{5}{2}$，请直接写出 $\mathit{FH}$的长．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=1$， $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，点 $E$在边 $\mathit{CD}$上移动，连接 $\mathit{AE}$，将多边形 $\mathit{ABCE}$沿直线 $\mathit{AE}$翻折，得到多边形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}E$，点 $B$、 $C$的对应点分别为点 $B\text{'}$、 $C\text{'}$．

（1）当 $B\text{'}C\text{'}$恰好经过点 $D$时（如图 $1$），求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）若 $B\text{'}C\text{'}$分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$，且 $\angle \mathit{DAE}=22.5°$（如图 $2)$，求 $\mathit{\Delta DFG}$的面积；

（3）在点 $E$从点 $C$移动到点 $D$的过程中，求点 $C\text{'}$运动的路径长．

折纸的思考．

（操作体验）

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{BC})$（图①），使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 $C$落在 $\mathit{EF}$上的 $P$处，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BG}$，折出 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，得到 $\mathit{\Delta PBC}$．

（1）说明 $\mathit{\Delta PBC}$是等边三角形．

（数学思考）

（2）如图④，小明画出了图③的矩形 $\mathit{ABCD}$和等边三角形 $\mathit{PBC}$．他发现，在矩形 $\mathit{ABCD}$中把 $\mathit{\Delta PBC}$经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为 $3\mathit{cm}$，另一边长为 $\mathit{acm}$，对于每一个确定的 $a$的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 $a$的取值范围．

（问题解决）

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 $4\mathit{cm}$和 $1\mathit{cm}$的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　     　 $\mathit{cm}$．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(5,0)$，以原点 $O$为圆心、3为半径作圆． $P$从点 $O$出发，以每秒1个单位的速度沿 $y$轴正半轴运动，运动时间为 $t\left(s\right)$．连接 $\mathit{AP}$，将 $\mathit{\Delta OAP}$沿 $\mathit{AP}$翻折，得到 $\mathit{\Delta APQ}$．求 $\mathit{\Delta APQ}$有一边所在直线与 $\odot O$相切时 $t$的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(5,0)$，以原点 $O$为圆心、3为半径作圆． $P$从点 $O$出发，以每秒1个单位的速度沿 $y$轴正半轴运动，运动时间为 $t\left(s\right)$．连接 $\mathit{AP}$，将 $\mathit{\Delta OAP}$沿 $\mathit{AP}$翻折，得到 $\mathit{\Delta APQ}$．求 $\mathit{\Delta APQ}$有一边所在直线与 $\odot O$相切时 $t$的值．

如图，将边长为6的正方形纸片 $\mathit{ABCD}$对折，使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，折痕为 $\mathit{EF}$，展平后，再将点 $B$折到边 $\mathit{CD}$上，使边 $\mathit{AB}$经过点 $E$，折痕为 $\mathit{GH}$，点 $B$的对应点为 $M$，点 $A$的对应点为 $N$

（1）若 $\mathit{CM}=x$，则 $\mathit{CH}=$　                         　（用含 $x$的代数式表示）；

（2）求折痕 $\mathit{GH}$的长．