初中数学翻折变换（折叠问题）解答题

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为8，点 $P$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点（与点 $A$、 $B$不重合）．直线 $l$是经过点 $P$的一条直线，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿直线 $l$折叠，点 $B$的对应点是点 $B\text{'}$．

（1）如图1，当 $\mathit{PB}=4$时，若点 $B\text{'}$恰好在 $\mathit{AC}$边上，则 $\mathit{AB}\text{'}$的长度为　       　；

（2）如图2，当 $\mathit{PB}=5$时，若直线 $l//\mathit{AC}$，则 $\mathit{BB}\text{'}$的长度为　     　；

（3）如图3，点 $P$在 $\mathit{AB}$边上运动过程中，若直线 $l$始终垂直于 $\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta ACB}\text{'}$的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当 $\mathit{PB}=6$时，在直线 $l$变化过程中，求 $\mathit{\Delta ACB}\text{'}$面积的最大值．

如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿 $\mathit{DF}$折叠，使点 $A$落在 $\mathit{CD}$边上点 $E$处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 $C$再次折叠，使得点 $B$落在边 $\mathit{CD}$上点 $B\text{'}$处，如图③，两次折痕交于点 $O$；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OE}$、 $\mathit{OC}$、 $\mathit{FD}$，如图④．

（探究）

（1）证明： $\mathit{\Delta OBC}\cong \mathit{\Delta OED}$；

（2）若 $\mathit{AB}=8$，设 $\mathit{BC}$为 $x$， $O{B}^2$为 $y$，求 $y$关于 $x$的关系式．

如图，把平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{BD}$折叠，点 $C$落在点 $C\text{'}$处， $\mathit{BC}\text{'}$与 $\mathit{AD}$相交于点 $E$．

（1）连接 $\mathit{AC}\text{'}$，则 $\mathit{AC}\text{'}$与 $\mathit{BD}$的位置关系是　          　；

（2） $\mathit{EB}$与 $\mathit{ED}$相等吗？证明你的结论．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{CD}$ 边上取一点 $E$ ，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 沿 $\mathit{BE}$ 翻折，使点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 边上点 $F$ 处．

（1）如图1，若 $\mathit{BC}=2\mathit{BA}$ ，求 $\angle \mathit{CBE}$ 的度数；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=5$ ，且 $\mathit{AF}·\mathit{FD}=10$ 时，求 $\mathit{BC}$ 的长；

（3）如图3，延长 $\mathit{EF}$ ，与 $\angle \mathit{ABF}$ 的角平分线交于点 $M$ ， $\mathit{BM}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $N$ ，当 $\mathit{NF}=\mathit{AN}+\mathit{FD}$ 时，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$ 的值．

探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，可通过构造直角三角形利用图1得到结论： $P_1{P}_2=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$他还利用图2证明了线段 $P_1{P}_2$的中点 $P(x,y)P$的坐标公式： $x=\frac{x_1+x_2}{2}$， $y=\frac{y_1+y_2}{2}$．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点 $M(2,-1)$， $N(-3,5)$，则线段 $\mathit{MN}$长度为　　；

②直接写出以点 $A(2,2)$， $B(-2,0)$， $C(3,-1)$， $D$为顶点的平行四边形顶点 $D$的坐标：　　；

拓展：（3）如图3，点 $P(2,n)$在函数 $y=\frac{4}{3}x(x⩾0)$的图象 $\mathit{OL}$与 $x$轴正半轴夹角的平分线上，请在 $\mathit{OL}$、 $x$轴上分别找出点 $E$、 $F$，使 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$， $D$、 $E$分别是斜边 $\mathit{AB}$、直角边 $\mathit{BC}$上的点，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿着直线 $\mathit{DE}$折叠．

（1）如图1，当折叠后点 $B$和点 $A$重合时，用直尺和圆规作出直线 $\mathit{DE}$；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

（2）如图2，当折叠后点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上点 $P$处，且四边形 $\mathit{PEBD}$是菱形时，求折痕 $\mathit{DE}$的长．

综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践操作

如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，使点 $B\text{'}$落在矩形 $\mathit{ABCD}$所在平面内， $B^{\text{'}}C$和 $\mathit{AD}$相交于点 $E$，连接 $B\text{'}D$．

解决问题

（1）在图1中，

① $B\text{'}D$和 $\mathit{AC}$的位置关系为　　；

②将 $\mathit{\Delta AEC}$剪下后展开，得到的图形是　　；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 $(\mathit{AB}\ne \mathit{BC})$，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；

拓展应用

（4）在图2中，若 $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$，当△ $\mathit{AB}\text{'}D$恰好为直角三角形时， $\mathit{BC}$的长度为　　．

再读教材：

宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约为 $0.618)$的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示： $\mathit{MN}=2)$

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线 $\mathit{AB}$，并把 $\mathit{AB}$折到图③中所示的 $\mathit{AD}$处．

第四步，展平纸片，按照所得的点 $D$折出 $\mathit{DE}$，使 $\mathit{DE}\perp \mathit{ND}$，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：

（1）图③中 $\mathit{AB}=$　　（保留根号）；

（2）如图③，判断四边形 $\mathit{BADQ}$的形状，并说明理由；

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．

实际操作

（4）结合图④，请在矩形 $\mathit{BCDE}$中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为一个矩形纸片， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=2$，动点 $P$自 $D$点出发沿 $\mathit{DC}$方向运动至 $C$点后停止， $\mathit{\Delta ADP}$以直线 $\mathit{AP}$为轴翻折，点 $D$落在点 $D_1$的位置．设 $\mathit{DP}=x$，△ $A{D}_{1}P$与原纸片重叠部分的面积为 $y$．

（1）当 $x$为何值时，直线 $A{D}_1$过点 $C$？

（2）当 $x$为何值时，直线 $A{D}_1$过 $\mathit{BC}$的中点 $E$？

（3）求出 $y$与 $x$的函数表达式．

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BM}$，同时得到线段 $\mathit{BN}$， $\mathit{MN}$．请你观察图1，猜想 $\angle \mathit{MBN}$的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $\mathit{BMN}$剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $\mathit{MN}$与 $\mathit{BM}$的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

如图1，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=5\mathit{cm}$，折叠纸片使 $B$点落在边 $\mathit{AD}$上的 $E$处，折痕为 $\mathit{PQ}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{AB}$交 $\mathit{PQ}$于 $F$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BFEP}$为菱形；

（2）当点 $E$在 $\mathit{AD}$边上移动时，折痕的端点 $P$、 $Q$也随之移动；

①当点 $Q$与点 $C$重合时（如图 $2)$，求菱形 $\mathit{BFEP}$的边长；

②若限定 $P$、 $Q$分别在边 $\mathit{BA}$、 $\mathit{BC}$上移动，求出点 $E$在边 $\mathit{AD}$上移动的最大距离．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上的一点，连接 $\mathit{BM}$ ．将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{AC}$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $D$ 处，当 $\mathit{DM}//\mathit{AB}$ 时，求证：四边形 $\mathit{ABMD}$ 是菱形．

我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图， $\mathit{AO}$为入射光线，入射点为 $O$， $\mathit{ON}$为法线（过入射点 $O$且垂直于镜面的直线）， $\mathit{OB}$为反射光线，此时反射角 $\angle \mathit{BON}$等于入射角 $\angle \mathit{AON}$．

问题思考：

（1）如图1，一束光线从点 $A$处入射到平面镜上，反射后恰好过点 $B$，请在图中确定平面镜上的入射点 $P$，保留作图痕迹，并简要说明理由；

（2）如图2，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$，一束光线从点 $A$出发，经过平面镜反射后，恰好经过点 $B$．小昕说，光线可以只经过平面镜 $\mathit{OM}$反射后过点 $B$，也可以只经过平面镜 $\mathit{ON}$反射后过点 $B$．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；

问题拓展：

（3）如图3，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\angle \mathit{MON}=30°$，一束光线从点 $S$出发，且平行于平面镜 $\mathit{OM}$，第一次在点 $A$处反射，经过若干次反射后又回到了点 $S$，如果 $\mathit{SA}$和 $\mathit{AO}$的长均为 $1m$，求这束光线经过的路程；

（4）如图4，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\angle \mathit{MON}=15°$，一束光线从点 $P$出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜 $\mathit{OM}$．设光线出发时与射线 $\mathit{PM}$的夹角为 $\theta (0°<\theta <180°)$，请直接写出满足条件的所有 $\theta$的度数（注 $:\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$足够长）

如图，矩形 $\mathit{AOCB}$的顶点 $A$、 $C$分别位于 $x$轴和 $y$轴的正半轴上，线段 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$的长度满足方程 $|x-15|+\sqrt{y-13}=0(\mathit{OA}>\mathit{OC})$，直线 $y=\mathit{kx}+b$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $M$、 $N$两点，将 $\mathit{\Delta BCN}$沿直线 $\mathit{BN}$折叠，点 $C$恰好落在直线 $\mathit{MN}$上的点 $D$处，且 $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{3}{4}$

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求直线 $\mathit{BN}$的解析式；

（3）将直线 $\mathit{BN}$以每秒1个单位长度的速度沿 $y$轴向下平移，求直线 $\mathit{BN}$扫过矩形 $\mathit{AOCB}$的面积 $S$关于运动的时间 $t(0<t⩽13)$的函数关系式．

已知，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=2$， $D$是 $\mathit{AC}$边上的一个动点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{BD}$所在直线折叠，使点 $A$落在点 $P$处．

（1）如图1，若点 $D$是 $\mathit{AC}$中点，连接 $\mathit{PC}$．

①写出 $\mathit{BP}$， $\mathit{BD}$的长；

②求证：四边形 $\mathit{BCPD}$是平行四边形．

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=\mathit{AD}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$，求 $\mathit{PH}$的长．