初中数学翻折变换（折叠问题）解答题

如图，为的直径，点为上一点，将弧沿直线翻折，使弧的中点恰好与圆心重合，连接，，，过点的切线与线段的延长线交于点，连接，在的另一侧作．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；

（2）若，求四边形的面积．

将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．是边上的一点（点不与点，重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点．

（1）如图①，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；

（2）如图②，当为中点时，求的长；

（3）当时，求点的坐标（直接写出结果即可）．

综合与实践

动手操作：

第一步：如图1，正方形纸片沿对角线所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点的直线折叠，使点，点都落在对角线上．此时，点与点重合，记为点，且点，点，点三点在同一条直线上，折痕分别为，．如图2．

第二步：再沿所在的直线折叠，与重合，得到图3．

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点与点重合，如图4，展开铺平，连接，，，．如图5，图中的虚线为折痕．

问题解决：

（1）在图5中，的度数是　　，的值是　　．

（2）在图5中，请判断四边形的形状，并说明理由；

（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：　　．

问题提出

（1）如图①，在中，，，点关于所在直线的对称点为，则的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆的直径，是的中点，点在上，且，是上的动点，试求的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛的半径为，．根据工程需要．现想在上选点，在边上选点，在边上选点，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形．试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计）

（1）解方程组： $\left\{\begin{array}{c}x-y=2\\ x-y=y+1\end{array}\right.$ ．

（2）如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 向下翻折，使点 $A$ 与点 $C$ 重合，折痕为 $\mathit{DE}$ ．求证： $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ．

在下面给出的数轴中，点A表示1，点B表示﹣2，回答下面的问题：

（1）A、B之间的距离是_________；
（2）观察数轴，与点A的距离为5的点表示的数是：_________ ；
（3）若将数轴折叠，使点A与﹣3表示的点重合，则点B与数_______表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2012（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：_________  N：_________ ．