将一个直角三角形纸片$\mathit{ABO}$放置在平面直角坐标系中，点$A(\sqrt{3},0)$，点$B(0,1)$，点$O(0,0)$．$P$是边$\mathit{AB}$上的一点（点$P$不与点$A$，$B$重合），沿着$\mathit{OP}$折叠该纸片，得点$A$的对应点$A^{\text{'}}$．

（1）如图①，当点$A^{\text{'}}$在第一象限，且满足$A^{\text{'}}B\perp \mathit{OB}$时，求点$A^{\text{'}}$的坐标；

（2）如图②，当$P$为$\mathit{AB}$中点时，求$A^{\text{'}}B$的长；

（3）当$\angle \mathit{BP}{A}^{\text{'}}=30°$时，求点$P$的坐标（直接写出结果即可）．