初中数学翻折变换（折叠问题）试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=10$ ， $\mathit{CD}=6$ ， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 边上一点，沿 $\mathit{AE}$ 折叠 $\mathit{\Delta ADE}$ ，使点 $D$ 恰好落在 $\mathit{BC}$ 边上的 $F$ 处， $M$ 是 $\mathit{AF}$ 的中点，连接 $\mathit{BM}$ ，则 $\sin \angle \mathit{ABM}=$ 　         　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=10$，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{BE}$折叠，点 $A$落在 $A^{\text{'}}$处，若 $E{A}^{\text{'}}$的延长线恰好过点 $C$，则 $\sin \angle \mathit{ABE}$的值为　　．

如图，三角形纸片 $\mathit{ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$为 $\mathit{AB}$中点．沿过点 $E$的直线折叠，使点 $B$与点 $A$重合，折痕 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．已知 $\mathit{EF}=\frac{3}{2}$，则 $\mathit{BC}$的长是 $($　　 $)$

A． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$B． $3\sqrt{2}$C．3D． $3\sqrt{3}$

如图，将一张三角形纸片 $\mathit{ABC}$的一角折叠，使点 $A$落在 $\mathit{\Delta ABC}$外的 $A^{\text{'}}$处，折痕为 $\mathit{DE}$．如果 $\angle A=\alpha$， $\angle \mathit{CEA}\text{'}=\beta$， $\angle \mathit{BD}{A}^{\text{'}}=\gamma$，那么下列式子中正确的是 $($　　 $)$

A． $\gamma =2\alpha +\beta$B． $\gamma =\alpha +2\beta$C． $\gamma =\alpha +\beta$D． $\gamma =180°-\alpha -\beta$

如图1，一个扇形纸片的圆心角为 $90°$，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点 $A$与点 $O$恰好重合，折痕为 $\mathit{CD}$，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 $($　　 $)$

A． $6\pi -\frac{9}{2}\sqrt{3}$B． $6\pi -9\sqrt{3}$C． $12\pi -\frac{9}{2}\sqrt{3}$D． $\frac{9\pi }{4}$

再读教材：

宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约为 $0.618)$的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示： $\mathit{MN}=2)$

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线 $\mathit{AB}$，并把 $\mathit{AB}$折到图③中所示的 $\mathit{AD}$处．

第四步，展平纸片，按照所得的点 $D$折出 $\mathit{DE}$，使 $\mathit{DE}\perp \mathit{ND}$，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：

（1）图③中 $\mathit{AB}=$　　（保留根号）；

（2）如图③，判断四边形 $\mathit{BADQ}$的形状，并说明理由；

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．

实际操作

（4）结合图④，请在矩形 $\mathit{BCDE}$中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．

如图，把正方形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 $\mathit{MN}$，再过点 $B$折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{MN}$上的点 $F$处，折痕为 $\mathit{BE}$．若 $\mathit{AB}$的长为2，则 $\mathit{FM}$的长为 $($　　 $)$

A．2B． $\sqrt{3}$C． $\sqrt{2}$D．1

如图，将一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$斜着向 $\mathit{AD}$边对折，使点 $B$落在 $\mathit{AD}$上，记为 $B\text{'}$，折痕为 $\mathit{CE}$；再将 $\mathit{CD}$边斜向下对折，使点 $D$落在 $B\text{'}C$边上，记为 $D\text{'}$，折痕为 $\mathit{CG}$， $B\text{'}D\text{'}=2$， $\mathit{BE}=\frac{1}{3}\mathit{BC}$．则矩形纸片 $\mathit{ABCD}$的面积为　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为一个矩形纸片， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=2$，动点 $P$自 $D$点出发沿 $\mathit{DC}$方向运动至 $C$点后停止， $\mathit{\Delta ADP}$以直线 $\mathit{AP}$为轴翻折，点 $D$落在点 $D_1$的位置．设 $\mathit{DP}=x$，△ $A{D}_{1}P$与原纸片重叠部分的面积为 $y$．

（1）当 $x$为何值时，直线 $A{D}_1$过点 $C$？

（2）当 $x$为何值时，直线 $A{D}_1$过 $\mathit{BC}$的中点 $E$？

（3）求出 $y$与 $x$的函数表达式．

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BM}$，同时得到线段 $\mathit{BN}$， $\mathit{MN}$．请你观察图1，猜想 $\angle \mathit{MBN}$的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $\mathit{BMN}$剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $\mathit{MN}$与 $\mathit{BM}$的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

如图1，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=5\mathit{cm}$，折叠纸片使 $B$点落在边 $\mathit{AD}$上的 $E$处，折痕为 $\mathit{PQ}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{AB}$交 $\mathit{PQ}$于 $F$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BFEP}$为菱形；

（2）当点 $E$在 $\mathit{AD}$边上移动时，折痕的端点 $P$、 $Q$也随之移动；

①当点 $Q$与点 $C$重合时（如图 $2)$，求菱形 $\mathit{BFEP}$的边长；

②若限定 $P$、 $Q$分别在边 $\mathit{BA}$、 $\mathit{BC}$上移动，求出点 $E$在边 $\mathit{AD}$上移动的最大距离．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{GH}$对折，点 $C$落在 $Q$处，点 $D$落在 $\mathit{AB}$边上的 $E$处， $\mathit{EQ}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $F$，若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$，则 $\mathit{\Delta EBF}$周长的大小为　　．

如图， $\mathit{AD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上的中线，沿 $\mathit{AD}$将 $\mathit{\Delta ACD}$折叠， $C$的对应点为 $C\text{'}$，已知 $\angle \mathit{ADC}=45°$， $\mathit{BC}=4$，那么点 $B$与 $C\text{'}$的距离为 $($　　 $)$

A．3B． $2\sqrt{2}$C． $2\sqrt{3}$D．4

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCO}$的边 $\mathit{CO}$、 $\mathit{OA}$分别在 $x$轴、 $y$轴上，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，将该矩形沿 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$恰好落在边 $\mathit{OC}$上的 $F$处．若 $\mathit{OA}=8$， $\mathit{CF}=4$，则点 $E$的坐标是　　．

如图，点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$上的点， $\mathit{BE}=2\mathit{CE}$，将矩形沿着过点 $E$的直线翻折后，点 $C$、 $D$分别落在边 $\mathit{BC}$下方的点 $C_1$、 $D_1$处，且点 $C_1$、 $D_1$、 $B$在同一条直线上，折痕与边 $\mathit{AD}$交于点 $F$， $D_{1}F$与 $\mathit{BE}$交于点 $G$．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$，那么 $\mathit{\Delta EFG}$的周长为 $($　　 $)$

A． $4\sqrt{3}$B． $2+2\sqrt{3}$C． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$D．6