初中数学作图—复杂作图试题

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 $\mathit{EF}$；③ $T$型尺 $(\mathit{CD}$所在的直线垂直平分线段 $\mathit{AB})$．

（1）在图1中，请你画出用 $T$形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；

（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：

将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 $M$， $N$之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得 $\mathit{MN}=10m$，请你求出这个环形花坛的面积．

点 $A$、 $C$为半径是3的圆周上两点，点 $B$为 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的中点，以线段 $\mathit{BA}$、 $\mathit{BC}$为邻边作菱形 $\mathit{ABCD}$，顶点 $D$恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{5}$或 $2\sqrt{2}$B． $\sqrt{5}$或 $2\sqrt{3}$C． $\sqrt{6}$或 $2\sqrt{2}$D． $\sqrt{6}$或 $2\sqrt{3}$

已知：线段 $a$及 $\angle \mathit{ACB}$．

求作： $\odot O$，使 $\odot O$在 $\angle \mathit{ACB}$的内部， $\mathit{CO}=a$，且 $\odot O$与 $\angle \mathit{ACB}$的两边分别相切．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 和点 $A^{\text{'}}$ ，如图．

（1）以点 $A^{\text{'}}$ 为一个顶点作△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ ，使△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\backsim \mathit{\Delta ABC}$ ，且△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 的面积等于 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AC}$ 的中点， $D^{\text{'}}$ 、 $E^{\text{'}}$ 、 $F^{\text{'}}$ 分别是你所作的△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 三边 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ 、 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 、 $C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ 的中点，求证： $\mathit{\Delta DEF}\backsim$ △ $D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$ ．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$和点 $A^{\text{'}}$，如图．

（1）以点 $A^{\text{'}}$为一个顶点作△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$，使△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\backsim \mathit{\Delta ABC}$，且△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$的面积等于 $\mathit{\Delta ABC}$面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设 $D$、 $E$、 $F$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$三边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$的中点， $D^{\text{'}}$、 $E^{\text{'}}$、 $F^{\text{'}}$分别是你所作的△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$三边 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$、 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$、 $C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$的中点，求证： $\mathit{\Delta DEF}\backsim$△ $D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是一块直角三角板，且 $\angle C=90°$， $\angle A=30°$，现将圆心为点 $O$的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$都相切时，试用直尺与圆规作出射线 $\mathit{CO}$；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若 $\mathit{BC}=9$，圆形纸片的半径为2，求圆心 $O$运动的路径长．

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） $:$

（1）作 $\mathit{\Delta ABC}$的外心 $O$；

（2）设 $D$是 $\mathit{AB}$边上一点，在图中作出一个正六边形 $\mathit{DEFGHI}$，使点 $F$，点 $H$分别在边 $\mathit{BC}$和 $\mathit{AC}$上．

如图，已知 $\angle \mathit{MAN}$，及线段 $a$， $b(a>b)$．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线 $\mathit{AM}$、 $\mathit{AN}$上确定点 $B$、点 $C$，使得 $\mathit{AC}=b$， $\mathit{AB}+\mathit{BC}=a$（保留作图痕迹，不要作法）；

（2）若 $\sin \angle \mathit{MAN}=\frac{5}{13}$， $a=61$， $b=39$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为　     　．

如图，已知 $\angle \mathit{MAN}$，及线段 $a$， $b(a>b)$．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线 $\mathit{AM}$、 $\mathit{AN}$上确定点 $B$、点 $C$，使得 $\mathit{AC}=b$， $\mathit{AB}+\mathit{BC}=a$（保留作图痕迹，不要作法）；

（2）若 $\sin \angle \mathit{MAN}=\frac{5}{13}$， $a=61$， $b=39$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为　     　．

已知 $\angle \mathit{AOB}$，作图．

步骤1：在 $\mathit{OB}$上任取一点 $M$，以点 $M$为圆心， $\mathit{MO}$长为半径画半圆，分别交 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$于点 $P$、 $Q$；

步骤2：过点 $M$作 $\mathit{PQ}$的垂线交 $\stackrel{̂}{\mathit{PQ}}$于点 $C$；

步骤3：画射线 $\mathit{OC}$．

则下列判断：① $\stackrel{̂}{\mathit{PC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CQ}}$；② $\mathit{MC}//\mathit{OA}$；③ $\mathit{OP}=\mathit{PQ}$；④ $\mathit{OC}$平分 $\angle \mathit{AOB}$，其中正确的个数为 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

“直角”在初中几何学习中无处不在．

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}$，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断 $\angle \mathit{AOB}$是否为直角（仅限用直尺和圆规）．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$

（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $l$，交 $\mathit{AC}$于点 $O$；

②连接 $\mathit{BO}$并延长，在 $\mathit{BO}$的延长线上截取 $\mathit{OD}$，使得 $\mathit{OD}=\mathit{OB}$；

③连接 $\mathit{DA}$、 $\mathit{DC}$

（2）判断四边形 $\mathit{ABCD}$的形状，并说明理由．

如图， $\mathit{OA}=2$，以点 $A$为圆心，1为半径画 $\odot A$与 $\mathit{OA}$的延长线交于点 $C$，过点 $A$画 $\mathit{OA}$的垂线，垂线与 $\odot A$的一个交点为 $B$，连接 $\mathit{BC}$

（1）线段 $\mathit{BC}$的长等于　    　；

（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：

①以点　　为圆心，以线段　　的长为半径画弧，与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，使线段 $\mathit{OD}$的长等于 $\sqrt{6}$

②连 $\mathit{OD}$，在 $\mathit{OD}$上画出点 $P$，使 $\mathit{OP}$的长等于 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$，请写出画法，并说明理由．

已知 $\mathit{\Delta ABC}(\mathit{AC}<\mathit{BC})$，用尺规作图的方法在 $\mathit{BC}$上确定一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}=\mathit{BC}$，则符合要求的作图痕迹是

$($　　 $)$

A．

B．

C．

D．