初中数学圆解答题

如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点，联结、．

（1）求证：；

（2）当是直角三角形时，求、两点的距离；

（3）记、、 的面积分别为、、，如果是和的比例中项，求的长．

问题提出：

（1）如图1，已知，试确定一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔，按规定，要以塔为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到塔的距离为50米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔的占地面积忽略不计）

问题提出

（1）如图①，已知直线及外一点，试在直线上确定、两点，使，并画出这个．

问题探究

（2）如图②，是边长为28的正方形的对称中心，是边上的中点，连接．试在正方形的边上确定点，使线段和将正方形分割成面积之比为的两部分．求点到点的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园，，．根据设计要求，点、在对角线上，且，并在四边形区域内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：，

问题提出

（1）如图①，在中，，，则的外接圆半径的值为　　．

问题探究

（2）如图②，的半径为13，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值．

问题解决

（3）如图③所示，、、是某新区的三条规划路，其中，，，所对的圆心角为，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点、，也就是，分别在、线段和上选取点、、．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路、和．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段、、之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

问题提出

（1）如图①，在中，，，点关于所在直线的对称点为，则的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆的直径，是的中点，点在上，且，是上的动点，试求的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛的半径为，．根据工程需要．现想在上选点，在边上选点，在边上选点，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形．试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计）

问题提出

（1）如图①，是等边三角形，，若点是的内心，则的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形中，，，如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于（即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌．同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出，，的面积为；过弦的中点作交于点，又测得．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

（1）如图①，点是外一点，点是上一动点．若的半径为3，且，则点到点的最短距离为　 ；

（2）如图②，已知正方形的边长为4，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，则点到点的最短距离为　　；

（3）如图③，在等边中，，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，求面积的最大值，并说明理由．

在中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．例如，图1中是的一条中内弧．

（1）如图2，在中，，，分别是，的中点，画出的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点，，，，在中，，分别是，的中点．

①若，求的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；

②若在中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边上，直接写出的取值范围．

对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离“，记作．

已知点，，．

（1）求（点，；

（2）记函数的图象为图形．若，直接写出的取值范围；

（3）的圆心为，半径为1．若，直接写出的取值范围．

在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．

（1）当的半径为2时，

①在点，，，，，中，的关联点是　 　．

②点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围．

（2）的圆心在轴上，半径为2，直线与轴、轴交于点、．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3,1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x=3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的表达式；

（2） $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m,3)$ ，若在 $\odot O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．

已知矩形长和宽分别为4和2，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的？若存在请计算这个矩形的两边长，若不存在请说明理由．

阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．
如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S₁，正方形ABCD的面积为S₂．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE、OF、及正方形ABCD的边围成的图形（阴影部分）的面积为S．
（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S₁、S₂之间的关系为：            （用含S₁、S₂的代数式表示）；
（2）当OM⊥AB于G时（如图②），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；
（3）当旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；

广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？

如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．