初中数学圆解答题

如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，，连接并延长与过，，三点的相交于点．

（1）求点的坐标；

（2）过点作的切线交轴于点．

①如图1，求证：；

②如图2，连接，，，当，时，求的值．

如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）

（1）求点、的坐标；

（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；

（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；

（2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点．

①若，求的值；

②证明：无论为何值，恒为直角三角形；

③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．

如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点，双曲线经过点，连接，．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点，分别是轴，轴上的两点，当以，，，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；

（3）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，运动时间为秒，当为何值时，的度数最大？（请直接写出结果）

如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，的中线与轴交于点，且经过，，三点．

（1）求圆心的坐标；

（2）若直线与相切于点，交轴于点，求直线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点，过点作轴，交直线于点．若以为半径的与直线相交于另一点．当时，求点的坐标．

（1）方法选择

如图①，四边形是的内接四边形，连接，，．求证：．

小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接

小军认为可用补短法证明：延长至点，使得

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形是的内接四边形，连接，，是的直径，．试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是　　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是　　．

如图，抛物线过点，且与直线交于、两点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；

（3）设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数的图象过点，点与不重合）是图象上的一点，直线过点且平行于轴．于点，点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点在线段的中垂线上；

（3）设直线交二次函数的图象于另一点，于点，线段的中垂线交于点，求的值；

（4）试判断点与以线段为直径的圆的位置关系．

如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．

（1）求证：是等腰直角三角形；

（2）当点恰好落在线段上时，求的长；

（3）设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．

如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．

（1）求证：．

（2）当，时，求的长．

（3）设，．

①求关于的函数表达式；

②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值．

如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．

（1）若，

①求证：．

②当时，求面积的最大值．

（2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：．

如图，是的直径，、两点在的延长线上，是上的点，且，延长至，使得，设，．

（1）求证：；

（2）求，的长；

（3）若点在、、三点确定的圆上，求的长．

已知是的直径，是的切线，是上的点，，是直径上的动点，与直线上的点连线距离的最小值为，与直线上的点连线距离的最小值为．

（1）求证：是的切线；

（2）设，求的正弦值；

（3）设，，求的取值范围．

已知的直径，弦与弦交于点．且，垂足为点．

（1）如图1，如果，求弦的长；

（2）如图2，如果为弦的中点，求的余切值；

（3）联结、、，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．