初中数学圆解答题

已知 $\mathit{AD}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{BC}$为 $\odot O$的切线，切点为 $M$，分别过 $A$， $D$两点作 $\mathit{BC}$的垂线，垂足分别为 $B$， $C$， $\mathit{AD}$的延长线与 $\mathit{BC}$相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABM}\backsim \mathit{\Delta MCD}$；

（2）若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{AB}=5$，求 $\mathit{ME}$的长．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 是 $\odot O$ 上一点，过点 $C$ 的直线交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $D$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{DC}$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 是 $\mathit{AE}$ 与 $\odot O$ 的交点， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AE}=6$ ， $\angle D=30°$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $O$ 是 $\mathit{AB}$ 边上的一点，以 $\mathit{OA}$ 为半径的 $\odot O$ 与边 $\mathit{BC}$ 相切于点 $E$ ．

（1）若 $\mathit{AC}=5$ ， $\mathit{BC}=13$ ，求 $\odot O$ 的半径；

（2）过点 $E$ 作弦 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ 于 $M$ ，连接 $\mathit{AF}$ ，若 $\angle F=2\angle B$ ，求证：四边形 $\mathit{ACEF}$ 是菱形．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ，四边形 $\mathit{EBOC}$ 是平行四边形， $\mathit{EB}$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\angle F=30°$ ， $\mathit{EB}=4$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 $\pi$ ）.

如图所示， $\odot O$的半径为4，点 $A$是 $\odot O$上一点，直线 $l$过点 $A$； $P$是 $\odot O$上的一个动点（不与点 $A$重合），过点 $P$作 $\mathit{PB}\perp l$于点 $B$，交 $\odot O$于点 $E$，直径 $\mathit{PD}$延长线交直线 $l$于点 $F$，点 $A$是 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$的中点．

（1）求证：直线 $l$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{PA}=6$，求 $\mathit{PB}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形， $O$是底边 $\mathit{BC}$的中点，腰 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $D$， $\mathit{OB}$与 $\odot O$相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=1$．求阴影部分的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，作 $\mathit{ED}\perp \mathit{EB}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta BED}$的外接圆．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\odot O$的半径为2.5， $\mathit{BE}=4$，求 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$的长．

如图，已知 $A$、 $B$是 $\odot O$上两点， $\mathit{\Delta OAB}$外角的平分线交 $\odot O$于另一点 $C$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于 $D$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2） $E$为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点， $F$为 $\odot O$上一点， $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $G$，若 $\tan \angle \mathit{AFE}=\frac{3}{4}$， $\mathit{BE}=\mathit{BG}$， $\mathit{EG}=3\sqrt{10}$，求 $\odot O$的半径．

在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 $\mathit{EF}$；③ $T$型尺 $(\mathit{CD}$所在的直线垂直平分线段 $\mathit{AB})$．

（1）在图1中，请你画出用 $T$形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；

（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：

将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 $M$， $N$之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得 $\mathit{MN}=10m$，请你求出这个环形花坛的面积．

如图 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$与 $\odot O$相切于点 $A$， $\mathit{BP}$与 $\odot O$相交于点 $D$， $C$为 $\odot O$上的一点，分别连接 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CD}$， $\angle \mathit{BCD}=60°$．

（1）求 $\angle \mathit{ABD}$的度数；

（2）若 $\mathit{AB}=6$，求 $\mathit{PD}$的长度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=36°$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$，与 $\angle \mathit{ABC}$的平分线交于点 $D$， $\mathit{BD}$与 $\mathit{AC}$交于点 $E$，与 $\odot O$交于点 $F$．

（1）求 $\angle \mathit{DAF}$的度数；

（2）求证： $A{E}^2=\mathit{EF}·\mathit{ED}$；

（3）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线．

如图， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线，点 $C$在直径 $\mathit{AB}$的延长线上．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{BDC}$；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{2}{3}\mathit{AD}$， $\mathit{AC}=3$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， 直线 $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于点 $C$，且与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $E$，点 $C$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}$的中点 ．

（1） 求证： $\mathit{AD}\perp \mathit{CD}$；

（2） 若 $\angle \mathit{CAD}=30°$， $\odot O$的半径为 3 ，一只蚂蚁从点 $B$出发， 沿着 $\mathit{BE}-\mathit{EC}-\stackrel{̂}{\mathit{CB}}$爬回至点 $B$，求蚂蚁爬过的路程 $(\pi \approx 3.14$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， 结果保留一位小数） ．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\odot O$上， $\mathit{AD}\perp \mathit{CD}$于点 $D$，且 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$，求证：

（1）直线 $\mathit{DC}$是 $\odot O$的切线；

（2） $A{C}^2=2\mathit{AD}·\mathit{AO}$．

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{MN}$折叠，顶点 $B$恰好与 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$重合（点 $P$不与点 $C$， $D$重合），折痕为 $\mathit{MN}$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{MP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{MN}$相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BFN}\backsim \mathit{\Delta BCP}$；

（2）①在图2中，作出经过 $M$， $D$， $P$三点的 $\odot O$（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $\mathit{AB}=4$，随着点 $P$在 $\mathit{CD}$上的运动，若①中的 $\odot O$恰好与 $\mathit{BM}$， $\mathit{BC}$同时相切，求此时 $\mathit{DP}$的长．