初中数学矩形的性质试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{CB}=2$，点 $E$为线段 $\mathit{AB}$上的动点，将 $\mathit{\Delta CBE}$沿 $\mathit{CE}$折叠，使点 $B$落在矩形内点 $F$处，下列结论正确的是　　（写出所有正确结论的序号）

①当 $E$为线段 $\mathit{AB}$中点时， $\mathit{AF}//\mathit{CE}$；

②当 $E$为线段 $\mathit{AB}$中点时， $\mathit{AF}=\frac{9}{5}$；

③当 $A$、 $F$、 $C$三点共线时， $\mathit{AE}=\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$；

④当 $A$、 $F$、 $C$三点共线时， $\mathit{\Delta CEF}\cong \mathit{\Delta AEF}$．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}:\mathit{BC}=3:2$，过点 $B$作 $\mathit{BE}//\mathit{AC}$，过点 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{DB}$， $\mathit{BE}$、 $\mathit{CE}$交于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，则 $\tan \angle \mathit{EDC}=($　　 $)$

A． $\frac{2}{9}$B． $\frac{1}{4}$C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$D． $\frac{3}{10}$

如图，点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$上的点， $\mathit{BE}=2\mathit{CE}$，将矩形沿着过点 $E$的直线翻折后，点 $C$、 $D$分别落在边 $\mathit{BC}$下方的点 $C_1$、 $D_1$处，且点 $C_1$、 $D_1$、 $B$在同一条直线上，折痕与边 $\mathit{AD}$交于点 $F$， $D_{1}F$与 $\mathit{BE}$交于点 $G$．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$，那么 $\mathit{\Delta EFG}$的周长为 $($　　 $)$

A． $4\sqrt{3}$B． $2+2\sqrt{3}$C． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$D．6

如图，已知点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的一动点，正方形 $\mathit{EFGH}$的顶点 $G$、 $H$都在边 $\mathit{AD}$上，若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\tan \angle \mathit{AFE}$的值 $($　　 $)$

A．等于 $\frac{3}{7}$B．等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C．等于 $\frac{3}{4}$D．随点 $E$位置的变化而变化

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 折叠 $(\mathit{AD}>\mathit{AB})$ ，使 $\mathit{AB}$ 落在 $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AE}$ 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上， $E$ 点不动，将 $\mathit{BE}$ 边折起，使点 $B$ 落在 $\mathit{AE}$ 上的点 $G$ 处，连接 $\mathit{DE}$ ，若 $\mathit{DE}=\mathit{EF}$ ， $\mathit{CE}=2$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=10$，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{BE}$折叠，点 $A$落在 $A^{\text{'}}$处，若 $E{A}^{\text{'}}$的延长线恰好过点 $C$，则 $\sin \angle \mathit{ABE}$的值为　　．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$恰好落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，若 $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{ECA}$，则 $\mathit{AC}$的长是 $($　　 $)$

A． $3\sqrt{3}$B．4C．5D．6

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，则必有： $A{B}^2+A{C}^2=2A{O}^2+2B{O}^2$成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 $\mathit{DEFG}$中，已知 $\mathit{DE}=4$， $\mathit{EF}=3$，点 $P$在以 $\mathit{DE}$为直径的半圆上运动，则 $P{F}^2+P{G}^2$的最小值为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{10}$B． $\frac{19}{2}$C．34D．10

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=3$，矩形内部有一动点 $P$满足 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{矩形ABCD}}$，则点 $P$到 $A$、 $B$两点的距离之和 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的最小值为　　．

在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=8$， $\mathit{AB}=6$， $E$是边 $\mathit{BC}$上的点，将纸片沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $B$落在点 $F$处，连接 $\mathit{FC}$，当 $\mathit{\Delta EFC}$为直角三角形时， $\mathit{BE}$的长为　　．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{AB}$边上的一点，点 $F$为对角线 $\mathit{BD}$上的一点，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$．

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形．

①如图1，请直接写出 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系　 $\mathit{DF}=\sqrt{2}\mathit{AE}$　；

②将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$逆时针旋转到图2所示的位置，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}$，猜想 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $\mathit{BC}=\mathit{mAB}$，其它条件都不变，将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$得到△ $E^{\text{'}}B{F}^{\text{'}}$，连接 $A{E}^{\text{'}}$， $D{F}^{\text{'}}$，请在图3中画出草图，并直接写出 $A{E}^{\text{'}}$与 $D{F}^{\text{'}}$的数量关系．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=4$，点 $E$、 $F$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上，若 $\mathit{AE}=\sqrt{5}$， $\angle \mathit{EAF}=45°$，则 $\mathit{AF}$的长为　　．

如图1，分别沿长方形纸片 $\mathit{ABCD}$ 和正方形纸片 $\mathit{EFGH}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{EG}$ 剪开，拼成如图2所示的 $▱\mathit{KLMN}$ ，若中间空白部分四边形 $\mathit{OPQR}$ 恰好是正方形，且 $▱\mathit{KLMN}$ 的面积为50，则正方形 $\mathit{EFGH}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

24

B．

25

C．

26

D．

27

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，折痕为 $\mathit{EF}$， $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}C\text{'}$与 $\mathit{CD}$交于点 $M$，若 $\angle B\text{'}\mathit{MD}=50°$，则 $\angle \mathit{BEF}$的度数为　　．