初中数学菱形的性质解答题

小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点 $P$， $Q$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\angle \mathit{PAQ}=\angle B$，求证： $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$．

（1）小敏进行探索，若将点 $P$， $Q$的位置特殊化；把 $\angle \mathit{PAQ}$绕点 $A$旋转得到 $\angle \mathit{EAF}$，使 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，点 $E$， $F$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，如图2．此时她证明了 $\mathit{AE}=\mathit{AF}$，请你证明．

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为 $E$， $F$．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件： $\mathit{AB}=4$， $\angle B=60°$，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $\mathit{OABC}$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(3,4)$ ．

（1）求过点 $B$ 的反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）连接 $\mathit{OB}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{OB}$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，求直线 $\mathit{BD}$ 的解析式．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $O$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCF}$；

（2）当 $\mathit{AB}$与 $\mathit{BC}$满足什么关系时，四边形 $\mathit{AEOF}$是正方形？请说明理由．

如图，在菱形中，点，分别是边，的中点．

（1）求证：；

（2）若，，求菱形的面积．

如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，过点作于点，作交于点，过点作交（或的延长线）于点，得到矩形，设点运动的时间为秒

（1）求线段的长（用含的代数式表示）；

（2）求点与点重合时的值；

（3）设矩形与菱形重叠部分图形的面积与平方单位，求与之间的函数关系式；

（4）矩形的对角线与相交于点，当时，的值为　　；当时，的值为　　．

如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．

（1）试证明，并求的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

已知在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上一动点（不与点 $B$， $D$重合），连接 $\mathit{AE}$，以 $\mathit{AE}$为边在 $\mathit{AE}$的右侧作菱形 $\mathit{AEFG}$，且 $\angle \mathit{AEF}=60°$．

（1）如图1，若点 $F$落在线段 $\mathit{BD}$上，请判断：线段 $\mathit{EF}$与线段 $\mathit{DF}$的数量关系是 　  

（2）如图2，若点 $F$不在线段 $\mathit{BD}$上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；

（3）若点 $C$， $E$， $G$三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段 $\mathit{BE}$与线段 $\mathit{BD}$的数量关系．

如图1，菱形的顶点，在直线上，，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形，交对角线于点，交直线于点，连接．

（1）当时，求的大小．

（2）如图2，对角线交于点，交直线与点，延长交于点，连接．当的周长为2时，求菱形的周长．

（年新疆、生产建设兵团）如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．
（1）如图①，求证：∠AFD=∠EBC；
（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；
（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）

（年云南省曲靖市）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是，tanα=，求四边形OBEC的面积．

如图，为半圆的直径，点为半圆上任一点．

（1）若，过点作半圆的切线交直线于点．求证：；

（2）若，过点作的平行线交半圆于点．当以点，，，为顶点的四边形为菱形时，求的长．

（1）如图1，菱形的顶点、在菱形的边上，且，请直接写出的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形绕点旋转一定角度，如图2，求；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且，此时的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

如图，四边形 ABCD是菱形，点 E、 F分别在边 AB、 AD的延长线上，且 $\mathit{BE}＝\mathit{DF}$ ，连接 CE、 CF．求证： $\mathit{CE}＝\mathit{CF}$ ．

如图，直线 $y=\mathit{ax}+2$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,b)$．将线段 $\mathit{AB}$先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t(t>0)$个单位长度，得到对应线段 $\mathit{CD}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象恰好经过 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求 $a$和 $b$的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $\mathit{ABDC}$的面积；

（3）点 $N$在 $x$轴正半轴上，点 $M$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上的一个点，若 $\mathit{\Delta CMN}$是以 $\mathit{CM}$为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$的坐标．

如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．