初中数学菱形的性质解答题

如图，点 $E$， $F$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．求证： $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAF}$．

菱形 $\mathit{ABCD}$的周长为8， $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为腰，在菱形外作底角是 $45°$的等腰 $\mathit{\Delta ABE}$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CE}$．请画出图形，并直接写出 $\mathit{\Delta ACE}$的面积．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，点 $A$的坐标为 $(1,0)$，点 $D(4,4)$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $y=\frac{2}{3}x+b$经过点 $C$，与 $y$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AE}$．

（1）求 $k$， $b$的值；

（2）求 $\mathit{\Delta ACE}$的面积．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BD}=8$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AD}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

（1）求 $\mathit{AM}$ 的长．

（2） $\tan \angle \mathit{MBO}$ 的值为 　　．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$中，作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$、 $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）若点 $E$恰好是 $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{BD}$的值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $P$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{PA}=\mathit{PD}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta PAD}$的外接圆．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=8$， $\tan \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\odot O$的半径．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，且 $\mathit{AB}=2$．

（1）求菱形 $\mathit{ABCD}$的周长；

（2）若 $\mathit{AC}=2$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图，已知菱形 $\mathit{ABCD}$的对称中心是坐标原点 $O$，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象与 $\mathit{AD}$边交于 $E(-4,\frac{1}{2})$， $F(m,2)$两点．

（1）求 $k$， $m$的值；

（2）写出函数 $y=\frac{k}{x}$图象在菱形 $\mathit{ABCD}$内 $x$的取值范围．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$，求证： $\mathit{DF}=\mathit{BE}$．

如图，在菱形 ABCD中， G是 BD上一点，连接 CG并延长交 BA的延长线于点 F，交 AD于点 E．

（1）求证： AG＝ CG．

（2）求证： AG ²＝ GE• GF．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，点 $P$是射线 $\mathit{BD}$上一动点，以 $\mathit{AP}$为边向右侧作等边 $\mathit{\Delta APE}$，点 $E$的位置随着点 $P$的位置变化而变化．

（1）如图1，当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$内部或边上时，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{CE}$的数量关系是　　， $\mathit{CE}$与 $\mathit{AD}$的位置关系是　　；

（2）当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点 $P$在线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，连接 $\mathit{BE}$，若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=2\sqrt{19}$，求四边形 $\mathit{ADPE}$的面积．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\angle \mathit{ABC}:\angle \mathit{BAD}=1:2$ ， $\mathit{BE}//\mathit{AC}$ ， $\mathit{CE}//\mathit{BD}$ ．

（1）求 $\tan \angle \mathit{DBC}$ 的值；

（2）求证：四边形 $\mathit{OBEC}$ 是矩形．

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

（1）【探究发现】

如图1，∠ EOF的顶点 O在正方形 ABCD两条对角线的交点处，∠ EOF＝90°，将∠ EOF绕点 O旋转，旋转过程中，∠ EOF的两边分别与正方形 ABCD的边 BC和 CD交于点 E和点 F（点 F与点 C， D不重合）．则 CE， CF， BC之间满足的数量关系是 　 　．

（2）【类比应用】

如图2，若将（1）中的"正方形 ABCD"改为"∠ BCD＝120°的菱形 ABCD"，其他条件不变，当∠ EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．

（3）【拓展延伸】

如图3，∠ BOD＝120°， OD＝ $\frac{3}{4}$ ， OB＝4， OA平分∠ BOD， AB＝ $\sqrt{13}$ ，且 OB＞2 OA，点 C是 OB上一点，∠ CAD＝60°，求 OC的长．

如图，四边形 ABCD是菱形，点 E、 F分别在边 AB、 AD的延长线上，且 $\mathit{BE}＝\mathit{DF}$ ，连接 CE、 CF．求证： $\mathit{CE}＝\mathit{CF}$ ．