初中数学平行四边形的判定与性质试题

我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”．

①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为　　；

②如图3，当，时，则长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形，，，，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle C=90°$， $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$分别平分 $\angle \mathit{ADC}$， $\angle \mathit{ABC}$，并交线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$于点 $E$， $F$（点 $E$， $B$不重合）．在线段 $\mathit{BF}$上取点 $M$， $N$（点 $M$在 $\mathit{BN}$之间），使 $\mathit{BM}=2\mathit{FN}$．当点 $P$从点 $D$匀速运动到点 $E$时，点 $Q$恰好从点 $M$匀速运动到点 $N$．记 $\mathit{QN}=x$， $\mathit{PD}=y$，已知 $y=-\frac{6}{5}x+12$，当 $Q$为 $\mathit{BF}$中点时， $y=\frac{24}{5}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\mathit{BF}$的位置关系，并说明理由．

（2）求 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$的长．

（3）若 $\mathit{AD}=6$．

①当 $\mathit{DP}=\mathit{DF}$时，通过计算比较 $\mathit{BE}$与 $\mathit{BQ}$的大小关系．

②连结 $\mathit{PQ}$，当 $\mathit{PQ}$所在直线经过四边形 $\mathit{ABCD}$的一个顶点时，求所有满足条件的 $x$的值．

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，，经过，两点的抛物线与轴的一个交点的坐标为．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若的平分线交于点，交抛物线的对称轴于点，点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，点，分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点，，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知直线 $y=\mathit{kx}+n$ 过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线和直线 $\mathit{BC}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $\mathit{PA}$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ．设 $\mathit{\Delta PDC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ADC}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点的直线交直线于点．

①当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；

②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$是坐标原点，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^2-\frac{\sqrt{3}}{3}x+8\sqrt{3}$与 $x$轴正半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $M$， $N$分别是 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的中点， $\text{Rt}\Delta \text{CDE}\cong \text{Rt}\Delta \text{ABO}$，且 $\mathit{\Delta CDE}$始终保持边 $\mathit{ED}$经过点 $M$，边 $\mathit{CD}$经过点 $N$，边 $\mathit{DE}$与 $y$轴交于点 $H$，边 $\mathit{CD}$与 $y$轴交于点 $G$．

（1）填空： $\mathit{OA}$的长是　， $\angle \mathit{ABO}$的度数是　　度；

（2）如图2，当 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，连接 $\mathit{HN}$．

①求证：四边形 $\mathit{AMHN}$是平行四边形；

②判断点 $D$是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边 $\mathit{CD}$经过点 $O$时，（此时点 $O$与点 $G$重合），过点 $D$作 $\mathit{DQ}//\mathit{OB}$，交 $\mathit{AB}$延长线上于点 $Q$，延长 $\mathit{ED}$到点 $K$，使 $\mathit{DK}=\mathit{DN}$，过点 $K$作 $\mathit{KI}//\mathit{OB}$，在 $\mathit{KI}$上取一点 $P$，使得 $\angle \mathit{PDK}=45°$（点 $P$， $Q$在直线 $\mathit{ED}$的同侧），连接 $\mathit{PQ}$，请直接写出 $\mathit{PQ}$的长．

如图，已知抛物线 $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{\mathit{4}}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{2}$与 $\mathit{x}$轴交于 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两点，与 $\mathit{y}$轴交于点 $\mathit{C}$

（1）求点 $\mathit{A}$， $\mathit{B}$， $\mathit{C}$的坐标；

（2）点 $\mathit{E}$是此抛物线上的点，点 $\mathit{F}$是其对称轴上的点，求以 $\mathit{A}$， $\mathit{B}$， $\mathit{E}$， $\mathit{F}$为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 $\mathit{M}$，使得 $\mathit{\Delta ACM}$是等腰三角形？若存在，请求出点 $\mathit{M}$的坐标；若不存在，请说明理由．

在等腰 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$， $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形， $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{AED}$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图①所示，求证： $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{CD}$；

（2）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转，顶点 $B$落在边 $\mathit{AD}$上时，如图②所示，当 $\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $\mathit{EF}$和 $\mathit{CD}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

已知， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=\angle C$， $P$是 $\mathit{BC}$边上一点，作 $\angle \mathit{CPE}=\angle \mathit{BPF}$，分别交边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $E$， $F$．

（1）若 $\angle \mathit{CPE}=\angle C$（如图 $1)$，求证： $\mathit{PE}+\mathit{PF}=\mathit{AB}$．

（2）若 $\angle \mathit{CPE}\ne \angle C$，过点 $B$作 $\angle \mathit{CBD}=\angle \mathit{CPE}$，交 $\mathit{CA}$（或 $\mathit{CA}$的延长线）于点 $D$．试猜想：线段 $\mathit{PE}$， $\mathit{PF}$和 $\mathit{BD}$之间的数量关系，并就 $\angle \mathit{CPE}>\angle C$情形（如图 $2)$说明理由．

（3）若点 $F$与 $A$重合（如图 $3)$， $\angle C=27°$，且 $\mathit{PA}=\mathit{AE}$．

①求 $\angle \mathit{CPE}$的度数；

②设 $\mathit{PB}=a$， $\mathit{PA}=b$， $\mathit{AB}=c$，试证明： $b=\frac{a^2-c^2}{c}$．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$在 $x$轴上，点 $C$在 $y$轴的负半轴上，直线 $\mathit{BC}//\mathit{AD}$，且 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{OD}=2$，将经过 $A$、 $B$两点的直线 $l:y=-2x-10$向右平移，平移后的直线与 $x$轴交于点 $E$，与直线 $\mathit{BC}$交于点 $F$，设 $\mathit{AE}$的长为 $t(t⩾0)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为　      　；

（2）设四边形 $\mathit{ABCD}$被直线 $l$扫过的面积（阴影部分）为 $S$，请直接写出 $S$关于 $t$的函数解析式；

（3）当 $t=2$时，直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $P$，作 $\mathit{PM}\perp$直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$，将 $\mathit{\Delta PMF}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PTF}$，探究：是否存在点 $P$，使点 $T$恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，，分别在射线，上，且为钝角，现以线段，为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，，点，，分别是，，的中点．

（1）求证：；

（2）延长，交于点．

①如图2，若，求证：为等边三角形；

②如图3，若，求大小和的值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$ 经过点 $A(-2,-4)$ 和点 $C(2,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{BD}$ ，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=2\angle \mathit{BDO}$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $M$ 是线段 $\mathit{AD}$ 上的动点（不与点 $A$ ，点 $D$ 重合），将 $\mathit{\Delta CME}$ 沿 $\mathit{ME}$ 所在直线翻折，得到 $\mathit{\Delta FME}$ ，当 $\mathit{\Delta FME}$ 与 $\mathit{\Delta AME}$ 重叠部分的面积是 $\mathit{\Delta AMC}$ 面积的 $\frac{1}{4}$ 时，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$在 $x$轴上，点 $C$在 $y$轴的负半轴上，直线 $\mathit{BC}//\mathit{AD}$，且 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{OD}=2$，将经过 $A$、 $B$两点的直线 $l:y=-2x-10$向右平移，平移后的直线与 $x$轴交于点 $E$，与直线 $\mathit{BC}$交于点 $F$，设 $\mathit{AE}$的长为 $t(t⩾0)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为　    　；

（2）设四边形 $\mathit{ABCD}$被直线 $l$扫过的面积（阴影部分）为 $S$，请直接写出 $S$关于 $t$的函数解析式；

（3）当 $t=2$时，直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $P$，作 $\mathit{PM}\perp$直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$，将 $\mathit{\Delta PMF}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PTF}$，探究：是否存在点 $P$，使点 $T$恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1， $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 为锐角．要在对角线 $\mathit{BD}$ 上找点 $N$ ， $M$ ，使四边形 $\mathit{ANCM}$ 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案 $($ 　　 $)$

A．	甲、乙、丙都是	B．	只有甲、乙才是
C．	只有甲、丙才是	D．	只有乙、丙才是

在① $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ；② $\mathit{OE}=\mathit{OF}$ ；③ $\mathit{BE}//\mathit{DF}$ 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．

已知，如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形，对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 在 $\mathit{AC}$ 上， 　　（填写序号）．

求证： $\mathit{BE}=\mathit{DF}$ ．