初中数学平行四边形的性质解答题

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ ， $G$ 是 $\mathit{BC}$ 边上任意一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合）， $\mathit{DE}\perp \mathit{AG}$ 于点 $E$ ， $\mathit{BF}//\mathit{DE}$ ，且交 $\mathit{AG}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}-\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ；

（2）四边形 $\mathit{BFDE}$ 是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点 $G$ 的位置，如不可能，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C(0,3)$ ，作直线 $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线上存在点 $D$ ，使 $\angle \mathit{DCB}=2\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，点 $F$ 的坐标为 $(0,\frac{7}{2})$ ，点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在直线 $\mathit{BC}$ 上．当以 $D$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $N$ 的坐标．

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $E$ ，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $F$ ， $G$ 是 $\mathit{AD}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{BG}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $H$ ，且 $\angle \mathit{DBG}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BG}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CH}=3$ ， $\tan \angle \mathit{DBG}=\frac{1}{2}$ ，求 $\odot O$ 的直径．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ 是对角线， $\angle \mathit{CAB}=90°$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $\mathit{AB}$ 的长为半径作 $\odot A$ ，交 $\mathit{BC}$ 边于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{DE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}$ 与 $\odot A$ 相切；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$ ， $\mathit{AB}=4$ ，求阴影部分的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上的一点，连接 $\mathit{BM}$ ，作 $\mathit{AP}\perp \mathit{BM}$ 于点 $P$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{AP}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）如图1，求证： $\mathit{AM}=\mathit{CE}$ ；

（2）如图2，以 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{BM}$ 为邻边作平行四边形 $\mathit{AMBG}$ ，连接 $\mathit{GE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{AN}$ ，求 $\frac{\mathit{GE}}{\mathit{AN}}$ 的值；

（3）如图3，若 $M$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，以 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BM}$ 为邻边作平行四边形 $\mathit{AGMB}$ ，连接 $\mathit{GE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{AN}$ ，经探究发现 $\frac{\mathit{NC}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{8}$ ，请直接写出 $\frac{\mathit{GE}}{\mathit{AN}}$ 的值．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $O$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 的交点， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$ ．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{OF}=2$ ，求 $\tan \angle \mathit{OBE}$ 的值．

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$ ，分别交 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{DC}$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{CE}$ ．

（1）若 $\mathit{OE}=\frac{3}{2}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长；

（2）判断四边形 $\mathit{AECF}$ 的形状，并说明理由．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}$ 的图象与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 与该抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点（点 $B$ 位于点 $C$ 左侧），与抛物线对称轴交于点 $D(2,-3)$ ．

（1）求 $b$ 的值；

（2）设 $P$ 、 $Q$ 是 $x$ 轴上的点（点 $P$ 位于点 $Q$ 左侧），四边形 $\mathit{PBCQ}$ 为平行四边形．过点 $P$ 、 $Q$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线交于点 $P^{\text{'}}(x_1$ ， $y_1)$ 、 $Q^{\text{'}}(x_2$ ， $y_2)$ ．若 $|y_1-y_2|=2$ ，求 $x_1$ 、 $x_2$ 的值．

（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则　 　；

（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是 　 　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 垂线交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\angle \mathit{DBC}=45°$ ，证明：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ 中， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ．求 $\odot O$ 的半径．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 的延长线上，点 $F$ 在 $\mathit{CD}$ 的延长线上，满足 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$ ．连接 $\mathit{EF}$ ，分别与 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}$ 交于点 $G$ ， $H$ ．

求证： $\mathit{EG}=\mathit{FH}$ ．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{BA}$ 长为半径画弧，交 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，在 $\mathit{AD}$ 上截取 $\mathit{AF}=\mathit{BE}$ ．连接 $\mathit{EF}$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABEF}$ 是菱形；

（2）请用无刻度的直尺在 $▱\mathit{ABCD}$ 内找一点 $P$ ，使 $\angle \mathit{APB}=90°$ ．（标出点 $P$ 的位置，保留作图痕迹，不写作法）

在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{AD}$ 的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图1，在 $\mathit{BC}$ 上找出一点 $M$ ，使点 $M$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点；

（2）如图2，在 $\mathit{BD}$ 上找出一点 $N$ ，使点 $N$ 是 $\mathit{BD}$ 的一个三等分点．

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．