如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $E$ ，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $F$ ， $G$ 是 $\mathit{AD}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{BG}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $H$ ，且 $\angle \mathit{DBG}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BG}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CH}=3$ ， $\tan \angle \mathit{DBG}=\frac{1}{2}$ ，求 $\odot O$ 的直径．