初中数学勾股定理的应用试题

数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式 $|x-1|<2$的解集

（1）探究 $|x-1|$的几何意义

如图①，在以 $O$为原点的数轴上，设点 $A\text{'}$对应的数是 $x-1$，由绝对值的定义可知，点 $A\text{'}$与点 $O$的距离为 $|x-1|$，可记为 $A\text{'}O=|x-1|$．将线段 $A\text{'}O$向右平移1个单位得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$对应的数是 $x$，点 $B$对应的数是1．因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=|x-1|$．因此， $|x-1|$的几何意义可以理解为数轴上 $x$所对应的点 $A$与1所对应的点 $B$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（2）求方程 $|x-1|=2$的解

因为数轴上3和 $-1$所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3， $-1$．

（3）求不等式 $|x-1|<2$的解集

因为 $|x-1|$表示数轴上 $x$所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 $x$的范围．

请在图②的数轴上表示 $|x-1|<2$的解集，并写出这个解集．

探究二：探究 $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义

（1）探究 $\sqrt{x^2+y^2}$的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点 $M$的坐标为 $(x,y)$，过 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于 $P$，作 $\mathit{MQ}\perp y$轴于 $Q$，则 $P$点坐标为 $(x,0)$， $Q$点坐标为 $(0,y)$， $\mathit{OP}=\left|x\right|$， $\mathit{OQ}=\left|y\right|$，在 $\text{Rt}\Delta \text{OPM}$中， $\mathit{PM}=\mathit{OQ}=\left|y\right|$，则 $\mathit{MO}=\sqrt{O{P}^2+P{M}^2}=\sqrt{|x{|}^2+|y{|}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$，因此， $\sqrt{x^2+y^2}$ 的几何意义可以理解为点 $M(x,y)$与点 $O(0,0)$之间的距离 $\mathit{MO}$．

（2）探究 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 $A\text{'}$的坐标为 $(x-1,y-5)$，由探究二（1）可知， $A\text{'}O=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，将线段 $A\text{'}O$先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$的坐标为 $(x,y)$，点 $B$的坐标为 $(1,5)$，因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，因此 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义可以理解为点 $A(x,y)$与点 $B(1,5)$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（3）探究 $\sqrt{{(x+3)}^2+{(y-4)}^2}$的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．

（4） $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义可以理解为：　　．

拓展应用：

（1） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的几何意义可以理解为：点 $A(x,y)$与点 $E(2,-1)$的距离和点 $A(x,y)$与点 $F$　　（填写坐标）的距离之和．

（2） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的最小值为　　（直接写出结果）

我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 $A$处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 $B$处，则问题中葛藤的最短长度是　尺．

如图， $\mathit{AD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上的中线，沿 $\mathit{AD}$将 $\mathit{\Delta ACD}$折叠， $C$的对应点为 $C\text{'}$，已知 $\angle \mathit{ADC}=45°$， $\mathit{BC}=4$，那么点 $B$与 $C\text{'}$的距离为 $($　　 $)$

A．3B． $2\sqrt{2}$C． $2\sqrt{3}$D．4

如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据： $\mathit{AM}=4$米， $\mathit{AB}=8$米， $\angle \mathit{MAD}=45°$， $\angle \mathit{MBC}=30°$，则警示牌的高 $\mathit{CD}$为　       　米（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}=1.41$， $\sqrt{3}=1.73)$．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=2$．如图，将直角顶点 $B$放在原点，点 $A$放在 $y$轴正半轴上，当点 $B$在 $x$轴上向右移动时，点 $A$也随之在 $y$轴上向下移动，当点 $A$到达原点时，点 $B$停止移动，在移动过程中，点 $C$到原点的最大距离为　          　．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=2\sqrt{10}$， $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{AD}=6$，则另一边 $\mathit{BC}$等于 $($　　 $)$

A．10B．8C．6或10D．8或10

把两个同样大小的含 $45°$ 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 $A$ ，且另三个锐角顶点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上．若 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{CD}=$ 　           ．

把两个同样大小的含 $45°$ 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 $A$ ，且另三个锐角顶点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上．若 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{CD}=$ 　            ．

如图，已知 $\mathit{OB}=1$，以 $\mathit{OB}$为直角边作等腰直角三角形 $A_1\mathit{BO}$，再以 $O{A}_1$为直角边作等腰直角三角形 $A_2{A}_{1}O$，如此下去，则线段 $O{A}_n$的长度为　     　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=2$， $M$是 $\mathit{AD}$边的中点， $N$是 $\mathit{AB}$边上的动点，将 $\mathit{\Delta AMN}$沿 $\mathit{MN}$所在直线折叠，得到△ $A\text{'}\mathit{MN}$，连接 $A\text{'}C$，则 $A\text{'}C$的最小值是　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{AE}=\mathit{AF}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{EF}$相交于点 $G$．下列结论：① $\mathit{AC}$垂直平分 $\mathit{EF}$；② $\mathit{BE}+\mathit{DF}=\mathit{EF}$；③当 $\angle \mathit{DAF}=15°$时， $\mathit{\Delta AEF}$为等边三角形；④当 $\angle \mathit{EAF}=60°$时， $S_{\mathit{\Delta ABE}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta CEF}}$．其中正确的是 $($　　 $)$

A．①③B．②④C．①③④D．②③④

我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里 $=500$米，则该沙田的面积为 $($　　 $)$

A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米

《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}+\mathit{AB}=10$， $\mathit{BC}=3$，求 $\mathit{AC}$的长，如果设 $\mathit{AC}=x$，则可列方程为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{BC}$边上的高为4，在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部作一个矩形 $\mathit{EFGD}$，使 $\mathit{EF}$在 $\mathit{BC}$边上，另外两个顶点分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$边上，则对角线 $\mathit{EG}$长的最小值为　　．

如图，点 $M$， $N$在半圆的直径 $\mathit{AB}$上，点 $P$， $Q$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上，四边形 $\mathit{MNPQ}$为正方形．若半圆的半径为 $\sqrt{5}$，则正方形的边长为　　．