初中数学直角三角形的性质试题

在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，，矩形的顶点，，分别在，，上，．将矩形沿轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle B=\angle C$ ，过 $\mathit{BC}$ 的中点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{BDE}=40°$ ，求 $\angle \mathit{BAC}$ 的度数．

问题背景 如图（1），已知 $\mathit{\Delta ABC}\backsim \mathit{\Delta ADE}$ ，求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta ACE}$ ；

尝试应用 如图（2），在 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ADE}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=30°$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DE}$ 相交于点 $F$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BC}$ 边上， $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BD}}=\sqrt{3}$ ，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$ 的值；

拓展创新 如图（3）， $D$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内一点， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBD}=30°$ ， $\angle \mathit{BDC}=90°$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$ ，直接写出 $\mathit{AD}$ 的长．

如图所示，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，则下列结论：

① $2a+b=0$ ；

② $2c<3b$ ；

③当 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等腰三角形时， $a$ 的值有2个；

④当 $\mathit{\Delta BCD}$ 是直角三角形时， $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

其中正确的有 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， $m$ 和6，8， $n$ ，且这两个直角三角形不相似，则 $m+n$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$10+\sqrt{7}$ 或 $5+2\sqrt{7}$

B．

15

C．

$10+\sqrt{7}$

D．

$15+3\sqrt{7}$

如图，在菱形中，点，分别是边，的中点．

（1）求证：；

（2）若，，求菱形的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABD}$ 中， $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}$ ．

（1）作点 $A$ 关于 $\mathit{BD}$ 的对称点 $C$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{DC}$ ，连接 $\mathit{AC}$ ，交 $\mathit{BD}$ 于点 $O$ ．

①求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形；

②取 $\mathit{BC}$ 的中点 $E$ ，连接 $\mathit{OE}$ ，若 $\mathit{OE}=\frac{13}{2}$ ， $\mathit{BD}=10$ ，求点 $E$ 到 $\mathit{AD}$ 的距离．

如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为　　．

如图，直线 $a//b$ ，直线 $\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$ ，若 $\angle 1=50°$ ，则 $\angle 2=($ 　　 $)$

A．

$50°$

B．

$45°$

C．

$40°$

D．

$30°$

如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为　　．

已知直线 $m//n$ ，将一块含 $30°$ 角的直角三角板 $\mathit{ABC}$ 按如图方式放置 $(\angle \mathit{ABC}=30°)$ ，其中 $A$ ， $B$ 两点分别落在直线 $m$ ， $n$ 上，若 $\angle 1=40°$ ，则 $\angle 2$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$10°$

B．

$20°$

C．

$30°$

D．

$40°$

如图，已知线段 $\mathit{AB}=4$ ， $O$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点，直线 $l$ 经过点 $O$ ， $\angle 1=60°$ ， $P$ 点是直线 $l$ 上一点，当 $\mathit{\Delta APB}$ 为直角三角形时，则 $\mathit{BP}=$ 　　．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $A_3\dots A_n$ 在 $x$ 轴上， $B_1$ 、 $B_2$ 、 $B_3\dots B_n$ 在直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 上，若 $A_1(1,0)$ ，且△ $A_1{B}_1{A}_2$ 、△ $A_2{B}_2{A}_3\dots$ △ $A_n{B}_n{A}_{n+1}$ 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3\dots S_n$ ．则 $S_n$ 可表示为 $($ 　　 $)$

A．

$2^{2n}\sqrt{3}$

B．

$2^{2n-1}\sqrt{3}$

C．

$2^{2n-2}\sqrt{3}$

D．

$2^{2n-3}\sqrt{3}$

如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则　　度．

如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）当时，求阴影部分面积．