如图，$\mathit{AB}$为$\odot O$的直径，且$\mathit{AB}=4\sqrt{3}$，点$C$是$\widehat{\mathit{AB}}$上的一动点（不与$A$，$B$重合），过点$B$作$\odot O$的切线交$\mathit{AC}$的延长线于点$D$，点$E$是$\mathit{BD}$的中点，连接$\mathit{EC}$．

（1）求证：$\mathit{EC}$是$\odot O$的切线；

（2）当$\angle D=30°$时，求阴影部分面积．