初中数学直角三角形的性质解答题

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， AB $>$ AD．

（1）用尺规完成以下基本作图：在 AB上截取 AE，使得 AE= AD；作∠ BCD的平分线交 AB于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接 DE交 CF于点 P，猜想△ CDP按角分类的类型，并证明你的结论．

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}＝90°$， $\mathit{OA}＝\mathit{OB}$，点C是 $\mathit{AB}$的中点，以OC为半径作 $\odot O$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OC}＝2$，求 $\mathit{OA}$的长．

已知 $\odot O_1$ 的半径为 $r_1$ ， $\odot O_2$ 的半径为 $r_2$ ．以 $O_1$ 为圆心，以 $r_1+r_2$ 的长为半径画弧，再以线段 $O_1{O}_2$ 的中点 $P$ 为圆心，以 $\frac{1}{2}{O}_1{O}_2$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $A$ ，连接 $O_{1}A$ ， $O_{2}A$ ， $O_{1}A$ 交 $\odot O_1$ 于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $O_{2}A$ 的平行线 $\mathit{BC}$ 交 $O_1{O}_2$ 于点 $C$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O_2$ 的切线；

（2）若 $r_1=2$ ， $r_2=1$ ， $O_1{O}_2=6$ ，求阴影部分的面积．

在 $\odot O$中，弦 $\mathit{CD}$与直径 $\mathit{AB}$相交于点 $P$， $\angle \mathit{ABC}=63°$．

（Ⅰ）如图①，若 $\angle \mathit{APC}=100°$，求 $\angle \mathit{BAD}$和 $\angle \mathit{CDB}$的大小；

（Ⅱ）如图②，若 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $E$，求 $\angle E$的大小．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，点 $H$为对角线 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，点 $F$在 $\mathit{AD}$的延长线上， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $F$，

（1）若 $\angle \mathit{BAD}=60°$，求证：四边形 $\mathit{CEHF}$是菱形；

（2）若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为16，求菱形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，点 $H$为对角线 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，点 $F$在 $\mathit{AD}$的延长线上， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $F$，

（1）若 $\angle \mathit{BAD}=60°$，求证：四边形 $\mathit{CEHF}$是菱形；

（2）若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为16，求菱形 $\mathit{ABCD}$的面积．

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

$\times$年 $\times$月 $\times$日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $\mathit{AB}$，现根据木板的情况，要过 $\mathit{AB}$上的一点 $C$，作出 $\mathit{AB}$的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $\mathit{AB}$上量出 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，然后分别以 $D$， $C$为圆心，以 $50\mathit{cm}$与 $40\mathit{cm}$为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$，作直线 $\mathit{CE}$，则 $\angle \mathit{DCE}$必为 $90°$． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$， $N$两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$与点 $C$重合，用铅笔在木板上将点 $N$对应的位置标记为点 $Q$，保持点 $N$不动，将木棒绕点 $N$旋转，使点 $M$落在 $\mathit{AB}$上，在木板上将点 $M$对应的位置标记为点 $R$．然后将 $\mathit{RQ}$延长，在延长线上截取线段 $\mathit{QS}=\mathit{MN}$，得到点 $S$，作直线 $\mathit{SC}$，则 $\angle \mathit{RCS}=90°$． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ $\dots \dots$

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　   　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $\angle \mathit{RCS}=90°$；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$作出 $\mathit{AB}$的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$， $N$和 $E$， $C$， $\mathit{DN}$和 $\mathit{EC}$相交于点 $P$，求 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $\angle \mathit{CPN}$不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$， $N$，可得 $\mathit{MN}//\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{DNM}=\angle \mathit{CPN}$，连接 $\mathit{DM}$，那么 $\angle \mathit{CPN}$就变换到 $\text{Rt}\Delta \text{DMN}$中．

问题解决

（1）直接写出图1中 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中， $\mathit{AN}$与 $\mathit{CM}$相交于点 $P$，求 $\cos \angle \mathit{CPN}$的值；

思维拓展

（3）如图3， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=4\mathit{BC}$，点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{BC}$，延长 $\mathit{CB}$到 $N$，使 $\mathit{BN}=2\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AN}$交 $\mathit{CM}$的延长线于点 $P$，用上述方法构造网格求 $\angle \mathit{CPN}$的度数．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CE}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{CBD}$；

（2）如图2， $F$是 $\mathit{BD}$的中点，求证： $\mathit{AE}\perp \mathit{CF}$；

（3）如图3， $F$， $G$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{AE}$的中点，若 $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CE}=1$，求 $\mathit{\Delta CGF}$的面积．

对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点 $A$的斜平移，如点 $P(2,3)$经1次斜平移后的点的坐标为 $(3,5)$，已知点 $A$的坐标为 $(1,0)$．

（1）分别写出点 $A$经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点 $M$是直线 $l$上的一点，点 $A$关于点 $M$的对称点为点 $B$，点 $B$关于直线 $l$的对称点为点 $C$．

①若 $A$、 $B$、 $C$三点不在同一条直线上，判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是直角三角形？请说明理由．

②若点 $B$由点 $A$经 $n$次斜平移后得到，且点 $C$的坐标为 $(7,6)$，求出点 $B$的坐标及 $n$的值．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$是底边 $\mathit{BC}$上一点且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta PAB}$的外接圆，过点 $P$作 $\mathit{PD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{AD}$的长度；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{AC}$上的一点，试问：当点 $E$在什么位置时，直线 $\mathit{ED}$与 $\odot O$相切？请说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过 $\mathit{AC}$延长线上的点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AO}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$，以 $O$为圆心， $\mathit{OD}$长为半径的圆过点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\odot O$的半径为12，则 $\tan \angle \mathit{BDO}=$　    　．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{CD}$ 边上取一点 $E$ ，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 沿 $\mathit{BE}$ 翻折，使点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 边上点 $F$ 处．

（1）如图1，若 $\mathit{BC}=2\mathit{BA}$ ，求 $\angle \mathit{CBE}$ 的度数；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=5$ ，且 $\mathit{AF}·\mathit{FD}=10$ 时，求 $\mathit{BC}$ 的长；

（3）如图3，延长 $\mathit{EF}$ ，与 $\angle \mathit{ABF}$ 的角平分线交于点 $M$ ， $\mathit{BM}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $N$ ，当 $\mathit{NF}=\mathit{AN}+\mathit{FD}$ 时，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，延长 $\mathit{AD}$至点 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BCED}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{DA}=\mathit{DB}=2$， $\cos A=\frac{1}{4}$，求点 $B$到点 $E$的距离．