初中数学等边三角形的判定与性质试题

如图， $▱\mathit{ABCD}$的顶点 $C$在等边 $\mathit{\Delta BEF}$的边 $\mathit{BF}$上，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $G$为 $\mathit{DE}$的中点，连接 $\mathit{CG}$．若 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{AB}=\mathit{CF}=2$，则 $\mathit{CG}$的长为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$， $D$， $E$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$的中点，若 $\mathit{BC}=2$，则 $\mathit{EF}$的长度为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B．1C． $\frac{3}{2}$D． $\sqrt{3}$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$得到线段 $\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，连接 $\mathit{PC}$，则三角形 $\mathit{PCE}$的面积为　　．

已知：如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{BOC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．记 $\angle \mathit{ABE}=\alpha$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．

问题背景

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$的内部，作 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{BCG}=\angle \mathit{CDH}$，根据三角形全等的条件，易得 $\mathit{\Delta DAE}\cong \mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCG}\cong \mathit{\Delta CDH}$，从而得到四边形 $\mathit{EFGH}$是正方形．

类比探究

如图2，在正 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，作 $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ACF}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$两两相交于 $D$， $E$， $F$三点 $(D$， $E$， $F$三点不重合）

（1） $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta BCE}$， $\mathit{\Delta CAF}$是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2） $\mathit{\Delta DEF}$是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现， $\mathit{\Delta ABD}$的三边存在一定的等量关系，设 $\mathit{BD}=a$， $\mathit{AD}=b$， $\mathit{AB}=c$，请探索 $a$， $b$， $c$满足的等量关系．

如图，点 $A$、 $B$、 $C$都在 $\odot O$上， $\mathit{OC}\perp \mathit{OB}$，点 $A$在劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上，且 $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，则 $\angle \mathit{ABC}=$　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AC}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{FN}$ ， $\mathit{EM}$ ．则下列结论：

① $\mathit{DN}=\mathit{BM}$ ；

② $\mathit{EM}//\mathit{FN}$ ；

③ $\mathit{AE}=\mathit{FC}$ ；

④当 $\mathit{AO}=\mathit{AD}$ 时，四边形 $\mathit{DEBF}$ 是菱形．

其中，正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{BA}$ 长为半径作 $\odot B$ ，交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ．

（1）试判断 $\mathit{CD}$ 与 $\odot B$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ，求图中阴影部分的面积．

如图， $\odot O$ 与 $\mathit{\Delta OAB}$ 的边 $\mathit{AB}$ 相切，切点为 $B$ ．将 $\mathit{\Delta OAB}$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转得到△ $O\text{'}A\text{'}B$ ，使点 $O\text{'}$ 落在 $\odot O$ 上，边 $A\text{'}B$ 交线段 $\mathit{AO}$ 于点 $C$ ．若 $\angle A\text{'}=25°$ ，则 $\angle \mathit{OCB}=$

    度．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为点 $E$， $F$，延长 $\mathit{BD}$至 $G$，使得 $\mathit{DG}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{FG}$，若 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，则 $\frac{\mathit{EG}}{\mathit{AB}}=$　　．

如图，在菱形 $\mathit{OABC}$中， $\mathit{OB}$是对角线， $\mathit{OA}=\mathit{OB}=2$， $\odot O$与边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$，则图中阴影部分的面积为　   　．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为点 $E$， $F$，延长 $\mathit{BD}$至 $G$，使得 $\mathit{DG}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{FG}$，若 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，则 $\frac{\mathit{EG}}{\mathit{AB}}=$　　．

如图，已知 $\angle \mathit{MON}=120°$，点 $A$， $B$分别在 $\mathit{OM}$， $\mathit{ON}$上，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=a$，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得到 $\mathit{OM}\text{'}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <120°$且 $\alpha \ne 60°)$，作点 $A$关于直线 $\mathit{OM}\text{'}$的对称点 $C$，画直线 $\mathit{BC}$交 $\mathit{OM}\text{'}$于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$，有下列结论：

① $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

② $\angle \mathit{ACD}$的大小随着 $\alpha$的变化而变化；

③当 $\alpha =30°$时，四边形 $\mathit{OADC}$为菱形；

④ $\mathit{\Delta ACD}$面积的最大值为 $\sqrt{3}{a}^2$；

其中正确的是　     　．（把你认为正确结论的序号都填上）．

如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：

（1）作线段 $\mathit{AB}$，分别以 $A$， $B$为圆心，以 $\mathit{AB}$长为半径作弧，两弧的交点为 $C$；

（2）以 $C$为圆心，仍以 $\mathit{AB}$长为半径作弧交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$；

（3）连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$．

下列说法不正确的是 $($　　 $)$

A． $\angle \mathit{CBD}=30°$B． $S_{\mathit{\Delta BDC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^2$

C．点 $C$是 $\mathit{\Delta ABD}$的外心D． ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}D=1$

如图，在边长为 $a$正方形 $\mathit{ABCD}$中，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{BM}$，连接 $\mathit{AM}$并延长交 $\mathit{CD}$于 $N$，连接 $\mathit{MC}$，则 $\mathit{\Delta MNC}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}{a}^2$B． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}{a}^2$C． $\frac{\sqrt{3}-1}{4}{a}^2$D． $\frac{\sqrt{2}-1}{4}{a}^2$