初中数学全等三角形的判定与性质试题

背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 $E$ 、 $A$ 、 $D$ 在同一条直线上），发现 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 且 $\mathit{BE}\perp \mathit{DG}$ ．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（如图 $1)$ ，还能得到 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形 $\mathit{AEFG}$ 和菱形 $\mathit{ABCD}$ ，将菱形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $2)$ ，试问当 $\angle \mathit{EAG}$ 与 $\angle \mathit{BAD}$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 $\mathit{AEFG}$ 和矩形 $\mathit{ABCD}$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AG}}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AD}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AB}=8$ ，将矩形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $3)$ ，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{BG}$ ．小组发现：在旋转过程中， $D{E}^2+B{G}^2$ 的值是定值，请求出这个定值．

如图，已知，与交于点，，求证：．

如图， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAC}=25°$ ， $\angle D=80°$ ．求 $\angle \mathit{BCA}$ 的度数．

正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $6\mathit{cm}$，点 $E$、 $M$分别是线段 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AD}$上的动点，连接 $\mathit{AE}$并延长，交边 $\mathit{BC}$于 $F$，过 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AF}$，垂足为 $H$，交边 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）如图1，若点 $M$与点 $D$重合，求证： $\mathit{AF}=\mathit{MN}$；

（2）如图2，若点 $M$从点 $D$出发，以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{DA}$向点 $A$运动，同时点 $E$从点 $B$出发，以 $\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{BD}$向点 $D$运动，运动时间为 $\mathit{ts}$．

①设 $\mathit{BF}=\mathit{ycm}$，求 $y$关于 $t$的函数表达式；

②当 $\mathit{BN}=2\mathit{AN}$时，连接 $\mathit{FN}$，求 $\mathit{FN}$的长．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{DAB}=90°$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{CO}$ 平分 $\angle \mathit{BCD}$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切；

（2）如图2，记（1）中的切点为 $E$ ， $P$ 为优弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$ 上一点， $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{BC}=2$ ．求 $\tan \angle \mathit{APE}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 边上的点， $\mathit{BD}=\mathit{CE}$ ， $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{CD}$ 相交于点 $F$ ．求证： $\mathit{\Delta ABC}$ 是等腰三角形．

如图， $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$的中点，延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta FCE}$．

（2）若 $\angle \mathit{BAF}=90°$， $\mathit{BC}=5$， $\mathit{EF}=3$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图， $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长交 $\mathit{BA}$的延长线于 $F$，若 $\mathit{CD}=6$，求 $\mathit{BF}$的长．

已知：在矩形中，，分别是边，上的点，过点作的垂线交于点，以为直径作半圆．

（1）填空：点　　（填“在”或“不在” 上；当时，的值是　　；

（2）如图1，在中，当时，求证：；

（3）如图2，当的顶点是边的中点时，求证：；

（4）如图3，点在线段的延长线上，若，连接交于点，连接，当时，，，求的值．

如图， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AD}$是 $\angle \mathit{BAC}$内部一条射线，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$于点 $F$．求证： $\mathit{AF}=\mathit{BE}$．

如图所示，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，且 $\mathit{\Delta AOB}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $A(2,1)$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求经过 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点的抛物线的函数表达式；

（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点 $P$ ，使四边形 $\mathit{ABOP}$ 的面积最大？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，连接 $\mathit{BD}$ ，点 $O$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，若 $M$ 、 $N$ 是边 $\mathit{AD}$ 上的两点，连接 $\mathit{MO}$ 、 $\mathit{NO}$ ，并分别延长交边 $\mathit{BC}$ 于两点 $M\text{'}$ 、 $N\text{'}$ ，则图中的全等三角形共有 $($ 　　 $)$

A．

2对

B．

3对

C．

4对

D．

5对

如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接．过点作，垂足为，与相交于点．求证：．

如图，已知是的直径，，为圆上一点，且，连接，，，与交于点．

（1）求证：为的切线；

（2）若，求的值．

如图，已知是的直径，与相切于点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）延长交于点．若，的半径为2，求的长．（结果保留