初中数学全等三角形的判定与性质解答题

在正方形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{BD}$所在的直线上有两点 $E$、 $F$满足 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{AF}$、 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$，如图所示．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ADF}$；

（2）试判断四边形 $\mathit{AECF}$的形状，并说明理由．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，分别过点 $A$， $C$作 $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$． $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAE}$．

（1）若 $\angle \mathit{AOE}=50°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$为 $\mathit{BC}$边上的一点， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$，以线段 $\mathit{AD}$为边作 $\mathit{\Delta ADE}$，使得 $\mathit{AE}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{CAD}$．求证： $\mathit{DE}=\mathit{CB}$．

如图，已知 $\angle 1=\angle 2$， $\angle 3=\angle 4$，求证： $\mathit{BC}=\mathit{BD}$．

综合与实践

问题情境：

如图①，点 $E$为正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\angle \mathit{AEB}=90°$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABE}$绕点 $B$按顺时针方向旋转 $90°$，得到 $\mathit{\Delta CBE}\text{'}$（点 $A$的对应点为点 $C)$．延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CE}\text{'}$于点 $F$，连接 $\mathit{DE}$．

猜想证明：

（1）试判断四边形 $B{E}^{\text{'}}\mathit{FE}$的形状，并说明理由；

（2）如图②，若 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$，请猜想线段 $\mathit{CF}$与 $F{E}^{\text{'}}$的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若 $\mathit{AB}=15$， $\mathit{CF}=3$，请直接写出 $\mathit{DE}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于 $E$，过 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$于 $F$．

求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形， $M$为 $\mathit{BC}$上一点，连接 $\mathit{AM}$，延长 $\mathit{AD}$至点 $E$，使得 $\mathit{AE}=\mathit{AM}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AM}$，垂足为 $F$，求证： $\mathit{AB}=\mathit{EF}$．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图， $\mathit{AC}$是 $\angle \mathit{BAE}$的平分线，点 $D$是线段 $\mathit{AC}$上的一点， $\angle C=\angle E$， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{DE}$．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，过 $B$点作 $\mathit{BM}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $M$，过 $D$点作 $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $F$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BMDN}$是平行四边形；

（2）已知 $\mathit{AF}=12$， $\mathit{EM}=5$，求 $\mathit{AN}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{AB}$，与过点 $A$的切线相交于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{AE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$，求 $\mathit{AE}$的长．

已知在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}⩾\mathit{AC}$， $D$， $E$分别为 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$边上的点（不包括端点），且 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{BE}}=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$，连接 $\mathit{AE}$，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AE}$，垂足为点 $M$，延长 $\mathit{DM}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）如图1，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，连接 $\mathit{DH}$．

①求证：四边形 $\mathit{DHEC}$是平行四边形；

②若 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，若 $m=\frac{3}{5}$，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AE}}$的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，延长 $\mathit{CE}$， $\mathit{BA}$交于点 $F$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACDF}$是平行四边形；

（2）当 $\mathit{CF}$平分 $\angle \mathit{BCD}$时，写出 $\mathit{BC}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并说明理由．