初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $DE ⊥ AC$ 于点O，交BC于点E， $EG ＝ EC$ ， $GF ∥ AD$ 交DE于点F，连接 $FC$ ，点H为线段 $AO$ 上一点，连接 $HD ， HF$ ．

（1）判断四边形 $GECF$ 的形状，并说明理由；

（2）当 $∠ DHF ＝ ∠ HAD$ 时，求证： $AH • CH ＝ EC • AD$ ．

来源：2020年甘肃省兰州市中考数学试卷

更新：2021-05-26
题型：未知
难度：未知

已知：在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为边作 $ΔAEB$ 与 $ΔAFC$ ．

（1）如图1， $ΔAEB$ 与 $ΔAFC$ 分别是以 $AB$ ， $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，连接 $EF$ ．以 $EF$ 为直角边构造 $Rt Δ EFG$ ，且 $EF = FG$ ，连接 $BG$ ， $CG$ ， $EC$ ．

求证：① $ΔAEF ≅ ΔCGF$ ．

②四边形 $BGCE$ 是平行四边形．

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2，在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为斜边作 $Rt Δ AEB$ 与 $Rt Δ AFC$ ，并使 $∠ FAC = ∠ EAB = 30 °$ ，取 $BC$ 的中点 $D$ ，连接 $DE$ ， $EF$ 后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出 $\frac{ED}{EF}$ 的值及 $∠ DEF$ 的度数．

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3，在 $ΔABC$ 外分别以 $AB$ ， $AC$ 为底边作等腰三角形 $AEB$ 和等腰三角形 $AFC$ ，并使 $∠ CAF + ∠ EAB = 90 °$ ，取 $BC$ 的中点 $D$ ，连接 $DE$ ， $EF$ 后发现，当给定 $∠ EAB = α$ 时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若 $AE = m$ ， $AB = n$ ，请你帮助小颖用含 $m$ ， $n$ 的代数式直接写出 $\frac{ED}{EF}$ 的值，并用含 $α$ 的代数式直接表示 $∠ DEF$ 的度数．

来源：2019年辽宁省丹东市中考数学试卷

更新：2021-05-12
题型：未知
难度：未知

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如图1，在四边形 $BCDE$ 中， $BC ⊥ CD$ ， $DE ⊥ CD$ ， $AB ⊥ AE$ ，垂足分别为 $C$ ， $D$ ， $A$ ， $BC \neq AC$ ，点 $M$ ， $N$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $AE$ ， $BE$ 的中点，连接 $MN$ ， $MF$ ， $NF$ ．

（1）如图2，当 $BC = 4$ ， $DE = 5$ ， $\tan ∠ FMN = 1$ 时，求 $\frac{AC}{AD}$ 的值；

（2）若 $\tan ∠ FMN = \frac{1}{2}$ ， $BC = 4$ ，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；

（3）连接 $CM$ ， $DN$ ， $CF$ ， $DF$ ．试证明 $ΔFMC$ 与 $ΔDNF$ 全等；

（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．

来源：2018年山东省威海市中考数学试卷

更新：2021-05-22
题型：未知
难度：未知

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如图，点 $E$ ， $F$ 在 $BC$ 上， $BE = CF$ ， $AB = DC$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证： $AF = DE$ ．

来源：2019年辽宁省大连市中考数学试卷

更新：2021-05-11
题型：未知
难度：未知

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在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $CG ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $G$ ．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$ ，一条直角边与 $AC$ 重合，另一条直角边恰好经过点 $B$ ．通过观察、测量 $BF$ 与 $CG$ 的长度，得到 $BF = CG$ ．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $AC$ 方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $AC$ 边重合，另一条直角边交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ BA$ 垂足为 $E$ ．此时请你通过观察、测量 $DE$ 、 $DF$ 与 $CG$ 的长度，猜想并写出 $DE$ 、 $DF$ 与 $CG$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．