初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，点 $P$在矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上，且不与点 $A$， $C$重合，过点 $P$分别作边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$的平行线，交两组对边于点 $E$， $F$和 $G$， $H$．

（1）求证： $\mathit{\Delta PHC}\cong \mathit{\Delta CFP}$；

（2）证明四边形 $\mathit{PEDH}$和四边形 $\mathit{PFBG}$都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．

如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$，问四边形 $\mathit{ABCD}$是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形 $\mathit{ABCD}$两组对边 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述）　　

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：如图3，分别以 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$的直角边 $\mathit{AC}$和斜边 $\mathit{AB}$为边向外作正方形 $\mathit{ACFG}$和正方形 $\mathit{ABDE}$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BG}$， $\mathit{GE}$，已知 $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AB}=5$，求 $\mathit{GE}$长．

如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．

（1）若固定三根木条 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$不动， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=2\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=5\mathit{cm}$，如图，量得第四根木条 $\mathit{CD}=5\mathit{cm}$，判断此时 $\angle B$与 $\angle D$是否相等，并说明理由．

（2）若固定二根木条 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$不动， $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=5\mathit{cm}$，量得木条 $\mathit{CD}=5\mathit{cm}$， $\angle B=90°$，写出木条 $\mathit{AD}$的长度可能取得的一个值（直接写出一个即可）

（3）若固定一根木条 $\mathit{AB}$不动， $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$，量得木条 $\mathit{CD}=5\mathit{cm}$，如果木条 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的长度不变，当点 $D$移到 $\mathit{BA}$的延长线上时，点 $C$也在 $\mathit{BA}$的延长线上；当点 $C$移到 $\mathit{AB}$的延长线上时，点 $A$、 $C$、 $D$能构成周长为 $30\mathit{cm}$的三角形，求出木条 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的长度．

我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究：

如图1，在等邻角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中垂线恰好交于 $\mathit{AB}$边上一点 $P$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$，试探究 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$与 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$中， $\angle C=\angle D=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}=3$， $\mathit{AB}=5$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$绕着点 $A$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{BAC})$得到 $\mathit{Rt}$△ $\mathit{AB}\text{'}D\text{'}$（如图 $3)$，当凸四边形 $\mathit{AD}\text{'}\mathit{BC}$为等邻角四边形时，求出它的面积．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$和四边形 $\mathit{DEFG}$为正方形，点 $E$在线段 $\mathit{DC}$上，点 $A$， $D$， $G$在同一直线上，且 $\mathit{AD}=3$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{AE}$，并延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CG}$于点 $H$．

（1）求 $\sin \angle \mathit{EAC}$的值．

（2）求线段 $\mathit{AH}$的长．

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，在 $\angle \mathit{AOB}$的平分线 $\mathit{OM}$上有一点 $C$，将一个 $120°$角的顶点与点 $C$重合，它的两条边分别与直线 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$相交于点 $D$、 $E$．

（1）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$垂直时（如图 $1)$，请猜想 $\mathit{OE}+\mathit{OD}$与 $\mathit{OC}$的数量关系，并说明理由；

（2）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）当 $\angle \mathit{DCE}$绕点 $C$旋转到 $\mathit{CD}$与 $\mathit{OA}$的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 $\mathit{OD}$、 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OC}$之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．

如图，已知 $\angle 1=\angle 2$， $\angle B=\angle D$，求证： $\mathit{CB}=\mathit{CD}$．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，点 $E$， $F$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的点， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，并且 $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{CFD}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta AED}\cong \mathit{\Delta CFD}$；

（2）四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形．

如图，已知 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AC}=\mathit{AE}$， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAC}$．

求证： $\angle C=\angle E$．

如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$于点 $E$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\mathit{BD}$，点 $M$为 $\mathit{BC}$中点， $N$为线段 $\mathit{AM}$上的点，且 $\mathit{MB}=\mathit{MN}$．

（1）求证： $\mathit{BN}$平分 $\angle \mathit{ABE}$；

（2）若 $\mathit{BD}=1$，连接 $\mathit{DN}$，当四边形 $\mathit{DNBC}$为平行四边形时，求线段 $\mathit{BC}$的长；

（3）如图②，若点 $F$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{FN}$、 $\mathit{FM}$，求证： $\mathit{\Delta MFN}\backsim \mathit{\Delta BDC}$．

如图， $\mathit{EF}=\mathit{BC}$， $\mathit{DF}=\mathit{AC}$， $\mathit{DA}=\mathit{EB}$．求证： $\angle F=\angle C$．

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上的点，将平行四边形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$所在直线翻折，使点 $B$与点 $D$重合，且点 $A$落在点 $A\text{'}$处．

（1）求证：△ $A\text{'}\mathit{ED}\cong \mathit{\Delta CFD}$；

（2）连接 $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{EBF}=60°$， $\mathit{EF}=3$，求四边形 $\mathit{BFDE}$的面积．

已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$边上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $P$，设 $\mathit{AC}=\mathit{kBD}$， $\mathit{CD}=\mathit{kAE}$， $k$为常数，试探究 $\angle \mathit{APE}$的度数：

（1）如图1，若 $k=1$，则 $\angle \mathit{APE}$的度数为　　；

（2）如图2，若 $k=\sqrt{3}$，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $\angle \mathit{APE}$的度数．

（3）如图3，若 $k=\sqrt{3}$，且 $D$、 $E$分别在 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CA}$的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图，已知 $\angle 1=\angle 2$， $\angle 3=\angle 4$，求证： $\mathit{BC}=\mathit{BD}$．