初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=1$，连接 $\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ACD}$的平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $\mathit{AB}$上截取 $\mathit{AF}=\mathit{DE}$，连接 $\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{CE}$， $\mathit{CA}$于点 $G$， $H$，点 $P$是线段 $\mathit{GC}$上的动点， $\mathit{PQ}\perp \mathit{AC}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PH}$．下列结论：① $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$；② $\mathit{DE}+\mathit{DC}=\mathit{AC}$；③ $\mathit{EA}=\sqrt{3}\mathit{AH}$；④ $\mathit{PH}+\mathit{PQ}$的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中正确结论的序号是 　　．

如图，四边形 $\mathit{ABDC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$于点 $D$．若 $\mathit{BD}=2$， $\mathit{CD}=4\sqrt{2}$，则线段 $\mathit{AB}$的长为 　　．

在等腰 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$， $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形， $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{AED}$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图①所示，求证： $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{CD}$；

（2）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转，顶点 $B$落在边 $\mathit{AD}$上时，如图②所示，当 $\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $\mathit{EF}$和 $\mathit{CD}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，平行四边形 $\mathit{ABFC}$ 的对角线 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，点 $O$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，连接 $\mathit{BO}$ 并延长，交 $\mathit{FC}$ 的延长线于点 $D$ ，交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{OE}$ ，若平行四边形 $\mathit{ABFC}$ 的面积为48，则 $S_{\mathit{\Delta AOG}}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

5.5

B．

5

C．

4

D．

3

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是边 $\mathit{BC}$上一点，且点 $E$不与点 $B$、 $C$重合，点 $F$是 $\mathit{BA}$的延长线上一点，且 $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCE}\cong \mathit{\Delta DAF}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{EF}$，交 $\mathit{AD}$于点 $K$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{EF}$，垂足为 $H$，延长 $\mathit{DH}$交 $\mathit{BF}$于点 $G$，连接 $\mathit{HB}$， $\mathit{HC}$．

①求证： $\mathit{HD}=\mathit{HB}$；

②若 $\mathit{DK}\cdot \mathit{HC}=\sqrt{2}$，求 $\mathit{HE}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=8$，将此矩形折叠，使点 $C$与点 $A$重合，点 $D$落在点 $D\text{'}$处，折痕为 $\mathit{EF}$，则 $\mathit{AD}\text{'}$的长为 　　， $\mathit{DD}\text{'}$的长为 　　．

如图， $E$ 、 $F$ 分别是正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的动点，满足 $\mathit{AE}=\mathit{BF}$ ，连接 $\mathit{CE}$ 、 $\mathit{DF}$ ，相交于点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ，若正方形的边长为2．则线段 $\mathit{AG}$ 的最小值为 　　．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$．

【探究发现】

（1）如图①，若 $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$．求证： $\mathit{AD}+\mathit{AB}=\mathit{AC}$；

【拓展迁移】

（2）如图②，若 $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=180°$．

①猜想 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$三条线段的数量关系，并说明理由；

②若 $\mathit{AC}=10$，求四边形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，过点 $O$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形：

（2）设 $\mathit{AD}//\mathit{EF}$， $\mathit{AD}+\mathit{AB}=12$， $\mathit{BD}=4\sqrt{3}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在正六边形 $\mathit{ABCDEF}$中，连接对角线 $\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DB}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $M$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$交于点为 $N$， $\mathit{MN}$与 $\mathit{AD}$交于点 $O$，分别延长 $\mathit{AB}$， $\mathit{DC}$于点 $G$，设 $\mathit{AB}=3$．有以下结论：

① $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$

② $\mathit{MN}=2\sqrt{3}$

③ $\mathit{\Delta DAG}$的重心、内心及外心均是点 $M$

④四边形 $\mathit{FACD}$绕点 $O$逆时针旋转 $30°$与四边形 $\mathit{ABDE}$重合

则所有正确结论的序号是 　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{EF}=2\mathit{AE}=2\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{DE}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{DF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta AMD}}}{S_{\mathit{\Delta MBN}}}=($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{4}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

1

D．

$\frac{1}{2}$

问题解决：如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形；

（2）延长 $\mathit{CB}$ 到点 $H$ ，使得 $\mathit{BH}=\mathit{AE}$ ，判断 $\mathit{\Delta AHF}$ 的形状，并说明理由．

类比迁移：如图2，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AF}$ 相交于点 $G$ ， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\angle \mathit{AED}=60°$ ， $\mathit{AE}=6$ ， $\mathit{BF}=2$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$为边 $\mathit{AB}$上的两个三等分点，点 $A$关于 $\mathit{DE}$的对称点为 $A\text{'}$， $\mathit{AA}\text{'}$的延长线交 $\mathit{BC}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DE}//A\text{'}F$；

（2）求 $\angle \mathit{GA}\text{'}B$的大小；

（3）求证： $A\text{'}C=2A\text{'}B$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的动点，点 $E$不与 $A$， $B$重合，且 $\mathit{EF}=\mathit{AB}$， $G$是五边形 $\mathit{AEFCD}$内满足 $\mathit{GE}=\mathit{GF}$且 $\angle \mathit{EGF}=90°$的点．现给出以下结论：

① $\angle \mathit{GEB}$与 $\angle \mathit{GFB}$一定互补；

②点 $G$到边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的距离一定相等；

③点 $G$到边 $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$的距离可能相等；

④点 $G$到边 $\mathit{AB}$的距离的最大值为 $2\sqrt{2}$．

其中正确的是 　     　．（写出所有正确结论的序号）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=\alpha$， $M$为 $\mathit{BC}$的中点，点 $D$在 $\mathit{MC}$上，以点 $A$为中心，将线段 $\mathit{AD}$顺时针旋转 $\alpha$得到线段 $\mathit{AE}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DE}$．

（1）比较 $\angle \mathit{BAE}$与 $\angle \mathit{CAD}$的大小；用等式表示线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BM}$， $\mathit{MD}$之间的数量关系，并证明；

（2）过点 $M$作 $\mathit{AB}$的垂线，交 $\mathit{DE}$于点 $N$，用等式表示线段 $\mathit{NE}$与 $\mathit{ND}$的数量关系，并证明．