初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，在四边形中，，点是的中点，．求证：．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是一块直角三角板，且 $\angle C=90°$， $\angle A=30°$，现将圆心为点 $O$的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$都相切时，试用直尺与圆规作出射线 $\mathit{CO}$；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若 $\mathit{BC}=9$，圆形纸片的半径为2，求圆心 $O$运动的路径长．

如图，一束光线从点 $A(4,4)$ 出发，经 $y$ 轴上的点 $C$ 反射后经过点 $B(1,0)$ ，则点 $C$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

A．

$(0,\frac{1}{2})$

B．

$(0,\frac{4}{5})$

C．

$(0,1)$

D．

$(0,2)$

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}＝\mathit{AC}$，点D，E分别是AC和AB的中点．求证： $\mathit{BD}＝\mathit{CE}$．

如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接．过点作，垂足为，与相交于点．求证：．

阅读理解：

如图①，图形 $\mathit{l}$外一点 $\mathit{P}$与图形 $\mathit{l}$上各点连接的所有线段中，若线段 $\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{1}}$最短，则线段 $\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{1}}$的长度称为点 $\mathit{P}$到图形 $\mathit{l}$的距离．

例如：图②中，线段 ${\mathit{P}}_{\mathit{1}}\mathit{A}$的长度是点 ${\mathit{P}}_{\mathit{1}}$到线段 $\mathit{AB}$的距离；线段 ${\mathit{P}}_{\mathit{2}}\mathit{H}$的长度是点 ${\mathit{P}}_{\mathit{2}}$到线段 $\mathit{AB}$的距离．

解决问题：

如图③，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的坐标分别为 $\mathit{(}\mathit{8}\mathit{,}\mathit{4}\mathit{)}$， $\mathit{(}\mathit{12}\mathit{,}\mathit{7}\mathit{)}$，点 $\mathit{P}$从原点 $\mathit{O}$出发，以每秒1个单位长度的速度向 $\mathit{x}$轴正方向运动了 $\mathit{t}$秒．

（1）当 $\mathit{t}\mathit{=}\mathit{4}$时，求点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离；

（2） $\mathit{t}$为何值时，点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离为5？

（3） $\mathit{t}$满足什么条件时，点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ 为边 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{\Delta ADC}$ 沿直线 $\mathit{AD}$ 翻折至 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内，得 $\mathit{\Delta ADC}\text{'}$ ，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，分别与边 $\mathit{AB}$ 交于点 $E$ ，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $O$ ．若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}\text{'}=2$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

在① $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ ，③ $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 边上（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{CD}$ 相交于点 $F$ ．若 　 ① $\mathit{AD}=\mathit{AE}($ ② $\angle \mathit{ABE}=\angle \mathit{ACD}$ 或 ③ $\mathit{FB}=\mathit{FC})$ 　，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CD}$ ．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

如图，点 $O$ 是 $▱\mathit{ABCD}$ 对角线的交点， $\mathit{EF}$ 过点 $O$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ，下列结论成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OE}=\mathit{OF}$

B．

$\mathit{AE}=\mathit{BF}$

C．

$\angle \mathit{DOC}=\angle \mathit{OCD}$

D．

$\angle \mathit{CFE}=\angle \mathit{DEF}$

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $C(2,0)$ ，点 $B(0,4)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $\mathit{OA}$ 向上平移 $m$ 个单位后经过反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 图象上的点 $(1,n)$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，延长 $\mathit{CE}$， $\mathit{BA}$交于点 $F$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACDF}$是平行四边形；

（2）当 $\mathit{CF}$平分 $\angle \mathit{BCD}$时，写出 $\mathit{BC}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}=90°$， $\angle A<\angle \mathit{ABC}$， $D$是 $\mathit{AC}$边上一点，且 $\mathit{DA}=\mathit{DB}$， $O$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{CE}$是 $\mathit{\Delta BCD}$的中线．

（1）如图 $a$，连接 $\mathit{OC}$，请直接写出 $\angle \mathit{OCE}$和 $\angle \mathit{OAC}$的数量关系：　    ；

（2）点 $M$是射线 $\mathit{EC}$上的一个动点，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得射线 $\mathit{ON}$，使 $\angle \mathit{MON}=\angle \mathit{ADB}$， $\mathit{ON}$与射线 $\mathit{CA}$交于点 $N$．

①如图 $b$，猜想并证明线段 $\mathit{OM}$和线段 $\mathit{ON}$之间的数量关系；

②若 $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{BC}=m$，当 $\angle \mathit{AON}=15°$时，请直接写出线段 $\mathit{ME}$的长度（用含 $m$的代数式表示）．