初中数学三角形内角和定理解答题

如图， $\mathit{BE}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线，在 $\mathit{AB}$ 上取点 $D$ ，使 $\mathit{DB}=\mathit{DE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ；

（2）若 $\angle A=65°$ ， $\angle \mathit{AED}=45°$ ，求 $\angle \mathit{EBC}$ 的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BD}=\mathit{BC}=\mathit{CE}$ ，连结 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDC}$ ， $\angle \mathit{ABE}$ 的度数；

（2）写出 $\angle \mathit{BEC}$ 与 $\angle \mathit{BDC}$ 之间的关系，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{BC}=16$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABD}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BD}$．在 $\mathit{BD}$的延长线上取点 $E$， $C$，作 $\mathit{\Delta AEC}$，使 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．若 $\angle \mathit{BAE}=90°$， $\angle B=45°$，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

答案： $\angle \mathit{DAC}=45°$．

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，其余条件不变，那么 $\angle \mathit{DAC}$的度数会改变吗？说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，再将“ $\angle \mathit{BAE}=90°$”改为“ $\angle \mathit{BAE}=n°$”，其余条件不变，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

如图，点 $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$的中点，连结 $\mathit{AE}$并延长，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）若 $\mathit{AD}$的长为2，求 $\mathit{CF}$的长．

（2）若 $\angle \mathit{BAF}=90°$，试添加一个条件，并写出 $\angle F$的度数．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$， $D$是半圆 $O$上不同于 $A$， $B$的两点， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $F$． $\mathit{BE}$是半圆 $O$所在圆的切线，与 $\mathit{AC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CBA}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

如果三角形的两个内角 $\alpha$与 $\beta$满足 $2\alpha +\beta =90°$，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若 $\mathit{\Delta ABC}$是“准互余三角形”， $\angle C>90°$， $\angle A=60°$，则 $\angle B=$　　 $°$；

（2）如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=5$．若 $\mathit{AD}$是 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，不难证明 $\mathit{\Delta ABD}$是“准互余三角形”．试问在边 $\mathit{BC}$上是否存在点 $E$（异于点 $D)$，使得 $\mathit{\Delta ABE}$也是“准互余三角形”？若存在，请求出 $\mathit{BE}$的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=7$， $\mathit{CD}=12$， $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABD}=2\angle \mathit{BCD}$，且 $\mathit{\Delta ABC}$是“准互余三角形”，求对角线 $\mathit{AC}$的长．

数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=110°$，求 $\angle B$的度数．（答案： $35°)$

例2 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=40°$，求 $\angle B$的度数，（答案： $40°$或 $70°$或 $100°)$

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=80°$，求 $\angle B$的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现， $\angle A$的度数不同，得到 $\angle B$的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，设 $\angle A=x°$，当 $\angle B$有三个不同的度数时，请你探索 $x$的取值范围．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$；以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）若 $\angle A=28°$，求 $\angle \mathit{ACD}$的度数．

（2）设 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$．

①线段 $\mathit{AD}$的长是方程 $x^2+2\mathit{ax}-b^2=0$的一个根吗？说明理由．

②若 $\mathit{AD}=\mathit{EC}$，求 $\frac{a}{b}$的值．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为直线 $\mathit{BC}$上一点， $E$为直线 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，设 $\angle \mathit{BAD}=\alpha$， $\angle \mathit{CDE}=\beta$．

（1）如图，若点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上，点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上．

①如果 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\angle \mathit{ADE}=70°$，那么 $\alpha =$　　 $°$， $\beta =$　　 $°$．

②求 $\alpha$， $\beta$之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的 $\alpha$， $\beta$之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

已知：如图， $\mathit{\Delta ABC}$是任意一个三角形，求证： $\angle A+\angle B+\angle C=180°$．

如图，已知 $D$， $E$分别为 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上两点，点 $A$， $C$， $E$在 $\odot D$上，点 $B$， $D$在 $\odot E$上． $F$为 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$上一点，连接 $\mathit{FE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $N$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$．

（1）若 $\angle \mathit{EBD}$为 $\alpha$，请将 $\angle \mathit{CAD}$用含 $\alpha$的代数式表示；

（2）若 $\mathit{EM}=\mathit{MB}$，请说明当 $\angle \mathit{CAD}$为多少度时，直线 $\mathit{EF}$为 $\odot D$的切线；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AD}=\sqrt{3}$，求 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{MF}}$的值．

如图，点 $C$、 $E$、 $F$、 $B$在同一直线上，点 $A$、 $D$在 $\mathit{BC}$异侧， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AE}=\mathit{DF}$， $\angle A=\angle D$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{CD}$；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{CF}$， $\angle B=40°$，求 $\angle D$的度数．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{AE}=\mathit{AB}$，将线段 $\mathit{AC}$绕 $A$点旋转到 $\mathit{AF}$的位置，使得 $\angle \mathit{CAF}=\angle \mathit{BAE}$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{EF}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=65°$， $\angle \mathit{ACB}=28°$，求 $\angle \mathit{FGC}$的度数．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{DCB}$，求证： $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作 $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，与 $\mathit{CD}$相交于点 $E$．

方法2：如图3，作 $\angle \mathit{DCF}=\angle \mathit{DCB}$，与 $\mathit{AB}$相交于点 $F$．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，点 $E$在 $\mathit{BC}$上，且 $\angle \mathit{BDE}=2\angle \mathit{ABC}$，点 $F$在 $\mathit{BD}$上，且 $\angle \mathit{AFE}=\angle \mathit{BAC}$，延长 $\mathit{DC}$、 $\mathit{FE}$，相交于点 $G$，且 $\angle \mathit{DGF}=\angle \mathit{BDE}$．

①在图中找出与 $\angle \mathit{DEF}$相等的角，并加以证明；

②若 $\mathit{AB}=\mathit{kDF}$，猜想线段 $\mathit{DE}$与 $\mathit{DB}$的数量关系，并证明你的猜想．