初中数学三角形试题

如图，等边三角形 $\mathit{ABC}$边长是定值，点 $O$是它的外心，过点 $O$任意作一条直线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$于点 $D$， $E$．将 $\mathit{\Delta BDE}$沿直线 $\mathit{DE}$折叠，得到△ $B\text{'}\mathit{DE}$，若 $B\text{'}D$， $B\text{'}E$分别交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $G$，连接 $\mathit{OF}$， $\mathit{OG}$，则下列判断错误的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta CGE}$

B．△ $B\text{'}\mathit{FG}$的周长是一个定值

C．四边形 $\mathit{FOEC}$的面积是一个定值

D．四边形 $\mathit{OG}{B}^{\text{'}}F$的面积是一个定值

小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点 $P$， $Q$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\angle \mathit{PAQ}=\angle B$，求证： $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$．

（1）小敏进行探索，若将点 $P$， $Q$的位置特殊化；把 $\angle \mathit{PAQ}$绕点 $A$旋转得到 $\angle \mathit{EAF}$，使 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，点 $E$， $F$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，如图2．此时她证明了 $\mathit{AE}=\mathit{AF}$，请你证明．

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为 $E$， $F$．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件： $\mathit{AB}=4$， $\angle B=60°$，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=110°$，求 $\angle B$的度数．（答案： $35°)$

例2 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=40°$，求 $\angle B$的度数，（答案： $40°$或 $70°$或 $100°)$

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=80°$，求 $\angle B$的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现， $\angle A$的度数不同，得到 $\angle B$的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，设 $\angle A=x°$，当 $\angle B$有三个不同的度数时，请你探索 $x$的取值范围．

等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，顶角 $A$为 $40°$，点 $P$在以 $A$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径的圆上，且 $\mathit{BP}=\mathit{BA}$，则 $\angle \mathit{PBC}$的度数为　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$是对角线， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足分别为点 $E$， $F$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DEF}$中，点 $B$， $F$， $C$， $E$在同一直线上， $\mathit{BF}=\mathit{CE}$， $\mathit{AB}//\mathit{DE}$，请添加一个条件，使 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$，这个添加的条件可以是　　（只需写一个，不添加辅助线）．

如图， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{BD}\perp \mathit{AO}$于 $E$，连接 $\mathit{BC}$，过点 $O$作 $\mathit{OF}\perp \mathit{BC}$于 $F$，若 $\mathit{BD}=8\mathit{cm}$， $\mathit{AE}=2\mathit{cm}$，则 $\mathit{OF}$的长度是 $($　　 $)$

A． $3\mathit{cm}$B． $\sqrt{6}\mathit{cm}$C． $2.5\mathit{cm}$D． $\sqrt{5}\mathit{cm}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $D$是 $\mathit{AB}$边上一点（点 $D$与 $A$， $B$不重合），连接 $\mathit{CD}$，将线段 $\mathit{CD}$绕点 $C$按逆时针方向旋转 $90°$得到线段 $\mathit{CE}$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACD}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）当 $\mathit{AD}=\mathit{BF}$时，求 $\angle \mathit{BEF}$的度数．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\angle B$是锐角， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$， $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{ME}$．若 $\angle \mathit{EMD}=90°$，则 $\cos B$的值为　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为8， $M$是 $\mathit{AB}$的中点， $P$是 $\mathit{BC}$边上的动点，连接 $\mathit{PM}$，以点 $P$为圆心， $\mathit{PM}$长为半径作 $\odot P$．当 $\odot P$与正方形 $\mathit{ABCD}$的边相切时， $\mathit{BP}$的长为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$， $\mathit{AB}=4$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交边 $\mathit{AB}$于点 $D$，则 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{6}\pi$B． $\frac{1}{3}\pi$C． $\frac{2}{3}\pi$D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $E$是边 $\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{OE}$．若 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\angle \mathit{BAC}=80°$，则 $\angle 1$的度数为 $($　　 $)$

A． $50°$B． $40°$C． $30°$D． $20°$

如图，在 $6\times 6$的网格中，每个小正方形的边长为1，点 $A$在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$的两条高 $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$相交于点 $F$，请添加一个条件，使得 $\mathit{\Delta ADC}\cong \mathit{\Delta BEC}$（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　　．

已知， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=\angle C$， $P$是 $\mathit{BC}$边上一点，作 $\angle \mathit{CPE}=\angle \mathit{BPF}$，分别交边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $E$， $F$．

（1）若 $\angle \mathit{CPE}=\angle C$（如图 $1)$，求证： $\mathit{PE}+\mathit{PF}=\mathit{AB}$．

（2）若 $\angle \mathit{CPE}\ne \angle C$，过点 $B$作 $\angle \mathit{CBD}=\angle \mathit{CPE}$，交 $\mathit{CA}$（或 $\mathit{CA}$的延长线）于点 $D$．试猜想：线段 $\mathit{PE}$， $\mathit{PF}$和 $\mathit{BD}$之间的数量关系，并就 $\angle \mathit{CPE}>\angle C$情形（如图 $2)$说明理由．

（3）若点 $F$与 $A$重合（如图 $3)$， $\angle C=27°$，且 $\mathit{PA}=\mathit{AE}$．

①求 $\angle \mathit{CPE}$的度数；

②设 $\mathit{PB}=a$， $\mathit{PA}=b$， $\mathit{AB}=c$，试证明： $b=\frac{a^2-c^2}{c}$．