初中数学三角形试题

如图，在边长为2的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中点，以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AD}$ 为半径作圆与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 分别交于 $E$ ， $F$ 两点，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\pi }{6}$

B．

$\frac{\pi }{3}$

C．

$\frac{\pi }{2}$

D．

$\frac{2\pi }{3}$

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，连接 $\mathit{AO}$，将 $\mathit{\Delta AOC}$绕点 $O$顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 $\mathit{\Delta EOF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$时，则 $\mathit{AE}$与 $\mathit{CF}$满足的数量关系是 　　；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$且 $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{AO}$到点 $D$，使 $\mathit{OD}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{DE}$，当 $\mathit{AO}=\mathit{CF}=5$， $\mathit{BC}=6$时，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$是对角线， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $E$，连接 $\mathit{CE}$，若 $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{2}$，则 $\tan \angle \mathit{DEC}$的值是 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=12$ ， $D$ 为 $\mathit{AC}$ 边上的一个动点，连接 $\mathit{BD}$ ， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 上的一个动点，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CE}$ ，当 $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{BCE}$ 时，线段 $\mathit{AE}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{EF}=2\mathit{AE}=2\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{DE}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{DF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta AMD}}}{S_{\mathit{\Delta MBN}}}=($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{4}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

1

D．

$\frac{1}{2}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle A=90°$，作 $\mathit{BC}$的垂直平分线交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{AC}$至点 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{AB}$．

（1）若 $\mathit{AE}=1$，求 $\mathit{\Delta ABD}$的周长；

（2）若 $\mathit{AD}=\frac{1}{3}\mathit{BD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABC}$的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$．点 $D$为平面上一个动点， $\angle \mathit{ADB}=45°$，则线段 $\mathit{CD}$长度的最小值为 　　．

如图，等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=90°$， $\mathit{BC}=4$．分别以点 $B$、点 $C$为圆心，线段 $\mathit{BC}$长的一半为半径作圆弧，交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$于点 $D$、 $E$、 $F$，则图中阴影部分的面积为 　　．

问题解决：如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形；

（2）延长 $\mathit{CB}$ 到点 $H$ ，使得 $\mathit{BH}=\mathit{AE}$ ，判断 $\mathit{\Delta AHF}$ 的形状，并说明理由．

类比迁移：如图2，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AF}$ 相交于点 $G$ ， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\angle \mathit{AED}=60°$ ， $\mathit{AE}=6$ ， $\mathit{BF}=2$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$， $C$是弦 $\mathit{AB}$上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{DE}$，分别交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $D$， $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$；

②以点 $D$为圆心， $\mathit{DA}$长为半径作弧，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $F(F$， $A$两点不重合），连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$．

（2）直接写出引理的结论：线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{BF}$的数量关系．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$为边 $\mathit{AB}$上的两个三等分点，点 $A$关于 $\mathit{DE}$的对称点为 $A\text{'}$， $\mathit{AA}\text{'}$的延长线交 $\mathit{BC}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DE}//A\text{'}F$；

（2）求 $\angle \mathit{GA}\text{'}B$的大小；

（3）求证： $A\text{'}C=2A\text{'}B$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$．线段 $\mathit{EF}$是由线段 $\mathit{AB}$平移得到的，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{\Delta EFD}$是以 $\mathit{EF}$为斜边的等腰直角三角形，且点 $D$恰好在 $\mathit{AC}$的延长线上．

（1）求证： $\angle \mathit{ADE}=\angle \mathit{DFC}$；

（2）求证： $\mathit{CD}=\mathit{BF}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是边 $\mathit{BC}$上的点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$，垂足分别为 $E$， $F$，且 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$， $\mathit{CE}=\mathit{BF}$．求证： $\angle B=\angle C$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的动点，点 $E$不与 $A$， $B$重合，且 $\mathit{EF}=\mathit{AB}$， $G$是五边形 $\mathit{AEFCD}$内满足 $\mathit{GE}=\mathit{GF}$且 $\angle \mathit{EGF}=90°$的点．现给出以下结论：

① $\angle \mathit{GEB}$与 $\angle \mathit{GFB}$一定互补；

②点 $G$到边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的距离一定相等；

③点 $G$到边 $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$的距离可能相等；

④点 $G$到边 $\mathit{AB}$的距离的最大值为 $2\sqrt{2}$．

其中正确的是 　     　．（写出所有正确结论的序号）

如图， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线．若 $\angle B=90°$， $\mathit{BD}=\sqrt{3}$，则点 $D$到 $\mathit{AC}$的距离是 　　．