初中数学三角形解答题

在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，点 $A(4,0)$ ，点 $B(0,3)$ ，把 $\mathit{\Delta ABO}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，得△ $A\text{'}\mathit{BO}\text{'}$ ，点 $A$ ， $O$ 旋转后的对应点为 $A\text{'}$ ， $O\text{'}$ ，记旋转角为 $\alpha$ ．

（Ⅰ）如图①，若 $\alpha =90°$ ，求 $\mathit{AA}\text{'}$ 的长；

（Ⅱ）如图②，若 $\alpha =120°$ ，求点 $O\text{'}$ 的坐标；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 $\mathit{OA}$ 上 的一点 $P$ 旋转后的对应点为 $P\text{'}$ ，当 $O\text{'}P+\mathit{BP}\text{'}$ 取得最小值时，求点 $P\text{'}$ 的坐标（直接写出结果即可）

在 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 为直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点．

（Ⅰ）如图1．过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线，与 $\mathit{AB}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\angle \mathit{CAB}=27°$ ，求 $\angle P$ 的大小；

（Ⅱ）如图2， $D$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上一点，且 $\mathit{OD}$ 经过 $\mathit{AC}$ 的中点 $E$ ，连接 $\mathit{DC}$ 并延长，与 $\mathit{AB}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\angle \mathit{CAB}=10°$ ，求 $\angle P$ 的大小．

综合与实践

动手操作：

第一步：如图1，正方形纸片沿对角线所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点的直线折叠，使点，点都落在对角线上．此时，点与点重合，记为点，且点，点，点三点在同一条直线上，折痕分别为，．如图2．

第二步：再沿所在的直线折叠，与重合，得到图3．

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点与点重合，如图4，展开铺平，连接，，，．如图5，图中的虚线为折痕．

问题解决：

（1）在图5中，的度数是　　，的值是　　．

（2）在图5中，请判断四边形的形状，并说明理由；

（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：　　．

已知：如图，点，在线段上，，，．求证：．

综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：

证明：，．

，．

四边形是矩形，．

．（依据

，．．

即是的边上的中线，

又，．（依据

垂直平分．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，可以发现点，点都在线段的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形和正方形的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

综合与实践

背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为，4，型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或，，的三角形就是，4，型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作 如图1，在矩形纸片中，，．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到△，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形是正方形．

（2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明，4，型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是，4，型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

如图，内接于，且为的直径，，与交于点，与过点的的切线交于点．

（1）若，，求的长．

（2）试判断与的数量关系，并说明理由．

已知：如图，在中，延长至点，延长至点，使得．连接，与对角线交于点．

求证：．

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-8$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $l$ 经过坐标原点 $O$ ，与抛物线的一个交点为 $D$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，已知点 $A$ ， $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(6,-8)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 $B$ 和点 $E$ 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta FOE}\cong \mathit{\Delta FCE}$ ？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 $(0,m)$ ，直线 $\mathit{PB}$ 与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，试探究：当 $m$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPQ}$ 是等腰三角形．

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德 $(\mathit{archimedes}$ ，公元前 $287-$ 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯 $\mathit{Al}-\mathit{Binmi}(973-1050$ 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 $\mathit{Al}-\mathit{Binmi}$ 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1， $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的两条弦（即折线 $\mathit{ABC}$ 是圆的一条折弦）， $\mathit{BC}>\mathit{AB}$ ， $M$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$ 的中点，则从 $M$ 向 $\mathit{BC}$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $\mathit{ABC}$ 的中点，即 $\mathit{CD}=\mathit{AB}+\mathit{BD}$ ．下面是运用"截长法"证明 $\mathit{CD}=\mathit{AB}+\mathit{BD}$ 的部分证明过程．证明：如图2，在 $\mathit{CB}$ 上截取 $\mathit{CG}=\mathit{AB}$ ，连接 $\mathit{MA}$ ， $\mathit{MB}$ ， $\mathit{MC}$ 和 $\mathit{MG}$ ．

$\because M$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$ 的中点，

$\therefore \mathit{MA}=\mathit{MC}$ ．

$\dots$

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=2$ ， $D$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上一点， $\angle \mathit{ABD}=45°$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$ 于点 $E$ ，则 $\mathit{\Delta BDC}$ 的周长是 　 ．

如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）如图2，如果，且，求的值；

（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．

已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．

（1）求证：；

（2）如果，求证：四边形是菱形．

已知的直径，弦与弦交于点．且，垂足为点．

（1）如图1，如果，求弦的长；

（2）如图2，如果为弦的中点，求的余切值；

（3）联结、、，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．

已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、．

（1）求证：；

（2）连接，如果．求证：．

如图，已知中，，．

（1）求边的长；

（2）设边的垂直平分线与边的交点为，求的值．