初中数学三角形解答题

如图， 在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， 连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$．

（1） 求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2） 若 $\mathit{CF}=2$， $\mathit{DF}=4$，求 $\odot O$直径的长 ．

如图， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$，垂足分别是点 $E$、 $F$， $\mathit{DE}=\mathit{CF}$， $\mathit{AE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}//\mathit{BD}$．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $M$从点 $C$出发沿 $\mathit{CB}$方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度匀速运动，到达点 $B$停止运动，在点 $M$的运动过程中，过点 $M$作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$，且保持 $\angle \mathit{NMC}=45°$，再过点 $N$作 $\mathit{AC}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{MF}$．将 $\mathit{\Delta MNF}$关于直线 $\mathit{NF}$对称后得到 $\mathit{\Delta ENF}$，已知 $\mathit{AC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，设点 $M$运动时间为 $t\left(s\right)$， $\mathit{\Delta ENF}$与 $\mathit{\Delta ANF}$重叠部分的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）在点 $M$的运动过程中，能否使得四边形 $\mathit{MNEF}$为正方形？如果能，求出相应的 $t$值；如果不能，说明理由；

（2）求 $y$关于 $t$的函数解析式及相应 $t$的取值范围；

（3）当 $y$取最大值时，求 $\sin \angle \mathit{NEF}$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $A(3,0)$，且 $M(1,-\frac{8}{3})$是抛物线上另一点．

（1）求 $a$、 $b$的值；

（2）连接 $\mathit{AC}$，设点 $P$是 $y$轴上任一点，若以 $P$、 $A$、 $C$三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 $P$点的坐标；

（3）若点 $N$是 $x$轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 $O$、 $A$重合），过点 $N$作 $\mathit{NH}//\mathit{AC}$交抛物线的对称轴于 $H$点．设 $\mathit{ON}=t$， $\mathit{\Delta ONH}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上一点，连接 $\mathit{DE}$，过顶点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$，垂足为 $F$， $\mathit{BF}$分别交 $\mathit{AC}$于 $H$，交 $\mathit{CD}$于 $G$．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$；

（2）若点 $G$为 $\mathit{CD}$的中点，求 $\frac{\mathit{HG}}{\mathit{GF}}$的值．

如图，点 $A$、 $F$、 $C$、 $D$在同一条直线上，已知 $\mathit{AF}=\mathit{DC}$， $\angle A=\angle D$， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$，求证： $\mathit{AB}=\mathit{DE}$．

（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 $\mathit{ABC}$，其中 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，在 $\mathit{\Delta ABC}$的外侧分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为腰作了两个等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，分别取 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{BC}$的中点 $M$， $N$， $G$，连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{GN}$．小明发现了：线段 $\mathit{GM}$与 $\mathit{GN}$的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 $\mathit{ABC}$换为一般的锐角三角形，其中 $\mathit{AB}>\mathit{AC}$，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向 $\mathit{\Delta ABC}$的内侧分别作等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，其它条件不变，试判断 $\mathit{\Delta GMN}$的形状，并给与证明．

已知：如图， $\mathit{\Delta ABC}$是任意一个三角形，求证： $\angle A+\angle B+\angle C=180°$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{AD}$的长度；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{AC}$上的一点，试问：当点 $E$在什么位置时，直线 $\mathit{ED}$与 $\odot O$相切？请说明理由．

【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\mathit{PA}=1$， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=3$．你能求出 $\angle \mathit{APB}$的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将 $\mathit{\Delta BPC}$绕点 $B$逆时针旋转 $90°$，得到△ $\mathit{BP}\text{'}A$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，求出 $\angle \mathit{APB}$的度数；

思路二：将 $\mathit{\Delta APB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$，得到△ $C{P}^{\text{'}}B$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，求出 $\angle \mathit{APB}$的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$外一点， $\mathit{PA}=3$， $\mathit{PB}=1$， $\mathit{PC}=\sqrt{11}$，求 $\angle \mathit{APB}$的度数．

如图，已知 $D$， $E$分别为 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上两点，点 $A$， $C$， $E$在 $\odot D$上，点 $B$， $D$在 $\odot E$上． $F$为 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$上一点，连接 $\mathit{FE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $N$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$．

（1）若 $\angle \mathit{EBD}$为 $\alpha$，请将 $\angle \mathit{CAD}$用含 $\alpha$的代数式表示；

（2）若 $\mathit{EM}=\mathit{MB}$，请说明当 $\angle \mathit{CAD}$为多少度时，直线 $\mathit{EF}$为 $\odot D$的切线；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AD}=\sqrt{3}$，求 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{MF}}$的值．

如图， $\mathit{BD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆 $\odot O$的直径，且 $\angle \mathit{BAE}=\angle C$．

（1）求证： $\mathit{AE}$与 $\odot O$相切于点 $A$；

（2）若 $\mathit{AE}//\mathit{BC}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，点 $M$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{CD}$上一点，连接 $\mathit{AM}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AM}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AM}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）已知 $\mathit{AF}=2$，四边形 $\mathit{ABED}$的面积为24，求 $\angle \mathit{EBF}$的正弦值．

如图1，在四边形 $\mathit{BCDE}$中， $\mathit{BC}\perp \mathit{CD}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{CD}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{AE}$，垂足分别为 $C$， $D$， $A$， $\mathit{BC}\ne \mathit{AC}$，点 $M$， $N$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{AE}$， $\mathit{BE}$的中点，连接 $\mathit{MN}$， $\mathit{MF}$， $\mathit{NF}$．

（1）如图2，当 $\mathit{BC}=4$， $\mathit{DE}=5$， $\tan \angle \mathit{FMN}=1$时，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AD}}$的值；

（2）若 $\tan \angle \mathit{FMN}=\frac{1}{2}$， $\mathit{BC}=4$，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；

（3）连接 $\mathit{CM}$， $\mathit{DN}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{DF}$．试证明 $\mathit{\Delta FMC}$与 $\mathit{\Delta DNF}$全等；

（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线，切点为 $B$， $\mathit{OC}//\mathit{AD}$， $\mathit{BA}$、 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}=1$， $\mathit{ED}=3$，求 $\odot O$的半径．