初中数学三角形解答题

如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q

（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）

（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；

（3）设AM＝x，d为点M到直线PQ的距离，y＝d²，

①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．

如图，抛物线 y＝ ax ²+2 x﹣3与 x轴交于 A、 B两点，且 B（1，0）

（1）求抛物线的解析式和点 A的坐标；

（2）如图1，点 P是直线 y＝ x上的动点，当直线 y＝ x平分∠ APB时，求点 P的坐标；

（3）如图2，已知直线 $y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}$ 分别与 x轴、 y轴交于 C、 F两点，点 Q是直线 CF下方的抛物线上的一个动点，过点 Q作 y轴的平行线，交直线 CF于点 D，点 E在线段 CD的延长线上，连接 QE．问：以 QD为腰的等腰△ QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

如图，点 C为△ ABD的外接圆上的一动点（点 C不在 $\stackrel{̂}{\mathit{BAD}}$ 上，且不与点 B， D重合），∠ ACB＝∠ ABD＝45°

（1）求证： BD是该外接圆的直径；

（2）连结 CD，求证： $\sqrt{2}\mathit{AC}=\mathit{BC}+\mathit{CD}$ ；

（3）若△ ABC关于直线 AB的对称图形为△ ABM，连接 DM，试探究 DM ²， AM ²， BM ²三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

如图1，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-3)$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点 $D$ 为 $y$ 轴上一点，如果直线 $\mathit{BD}$ 与直线 $\mathit{BC}$ 的夹角为 $15°$ ，求线段 $\mathit{CD}$ 的长度；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ，点 $P$ 在抛物线上，且满足 $\angle \mathit{PAB}=2\angle \mathit{ACO}$ ，求点 $P$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$ 过点 $A(-3,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 为直线 $\mathit{CD}$ 上的一个动点，连接 $\mathit{BC}$ ；

①如图1，是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCO}$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点 $P$ 在 $x$ 轴上方，连接 $\mathit{PA}$ 交抛物线于点 $N$ ， $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{BCO}$ ，点 $M$ 在第三象限抛物线上，连接 $\mathit{MN}$ ，当 $\angle \mathit{ANM}=45°$ 时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $B(6,0)$ 和点 $C(0,-3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，线段 $\mathit{OC}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $30°$ 得到线段 $\mathit{OD}$ ．过点 $B$ 作射线 $\mathit{BD}$ ，点 $M$ 是射线 $\mathit{BD}$ 上一点（不与点 $B$ 重合），点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ ，连接 $\mathit{NM}$ ， $\mathit{NB}$ ．

①直接写出 $\mathit{\Delta MBN}$ 的形状为 　 　；

②设 $\mathit{\Delta MBN}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ODB}$ 的面积为是 $S_2$ ．当 $S_1=\frac{2}{3}{S}_2$ 时，求点 $M$ 的坐标；

（3）如图3，在（2）的结论下，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}\perp \mathit{BN}$ ，交 $\mathit{NM}$ 的延长线于点 $E$ ，线段 $\mathit{BE}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{BF}$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FK}//x$ 轴，交射线 $\mathit{BE}$ 于点 $K$ ， $\angle \mathit{KBF}$ 的角平分线和 $\angle \mathit{KFB}$ 的角平分线相交于点 $G$ ，当 $\mathit{BG}=2\sqrt{3}$ 时，请直接写出点 $G$ 的坐标为 　　．

如图1，直线 $y=x-4$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $B$ 和点 $C(0,4)$ ， $\mathit{\Delta ABO}$ 沿射线 $\mathit{AB}$ 方向以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为 $\mathit{\Delta DEF}$ （点 $A$ ， $B$ ， $O$ 的对应点分别为点 $D$ ， $E$ ， $F)$ ，平移时间为 $t(0<t<4)$ 秒，射线 $\mathit{DF}$ 交 $x$ 轴于点 $G$ ，交抛物线于点 $M$ ，连接 $\mathit{ME}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\tan \angle \mathit{EMF}=\frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $t$ 的值；

（3）如图2，点 $N$ 在抛物线上，点 $N$ 的横坐标是点 $M$ 的横坐标的 $\frac{1}{2}$ ，连接 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{NF}$ ， $\mathit{OM}$ 与 $\mathit{NF}$ 相交于点 $P$ ，当 $\mathit{NP}=\mathit{FP}$ 时，求 $t$ 的值．

如图，已知 $\angle \mathit{MON}=90°$ ， $\mathit{OT}$ 是 $\angle \mathit{MON}$ 的平分线， $A$ 是射线 $\mathit{OM}$ 上一点， $\mathit{OA}=8\mathit{cm}$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AO}$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，也以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{ON}$ 竖直向上作匀速运动．连接 $\mathit{PQ}$ ，交 $\mathit{OT}$ 于点 $B$ ．经过 $O$ 、 $P$ 、 $Q$ 三点作圆，交 $\mathit{OT}$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{QC}$ ．设运动时间为 $t\left(s\right)$ ，其中 $0<t<8$ ．

（1）求 $\mathit{OP}+\mathit{OQ}$ 的值；

（2）是否存在实数 $t$ ，使得线段 $\mathit{OB}$ 的长度最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．

（3）求四边形 $\mathit{OPCQ}$ 的面积．

【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=6$ ， $\mathit{CD}=4$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．若 $\mathit{AC}=\mathit{AB}$ ，求 $\sin \angle \mathit{CAD}$ 的值；

（2）如图②，凸四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ，当 $2C{D}^2+C{B}^2=C{A}^2$ 时，判断四边形 $\mathit{ABCD}$ 是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ， $C(1,2)$ ，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，点 $E$ 在对余线 $\mathit{BD}$ 上，且位于 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部， $\angle \mathit{AEC}=90°+\angle \mathit{ABC}$ ．设 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}=u$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $t$ ，请直接写出 $u$ 关于 $t$ 的函数解析式．

如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线1于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．

（1）　　，　　；

（2）若点在点的上方，且，求的值；

（3）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②．

①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足？若存在，求出及相应的，的值；若不存在，请说明理由．

②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、．若，直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标．

如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．

（1）填空：　 　；

（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线交直线于点．若，求点的坐标；

（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．

如图，半径为4的中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．

（1）求的度数；

（2）当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；

（3）分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上的点，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 绕 $B$ 点旋转，使 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{BA}$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $\mathit{DA}$ 的延长线上，则四边形 $\mathit{BEDF}$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是"直等补"四边形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=1$ ， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ，点 $B$ 到直线 $\mathit{AD}$ 的距离为 $\mathit{BE}$ ．

①求 $\mathit{BE}$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AD}$ 边上的动点，求 $\mathit{\Delta MNC}$ 周长的最小值．

已知直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的一个交点为 $A(-1,0)$ ，点 $M(m,0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的另一个交点为该抛物线的顶点 $E$ 时，求 $k$ ， $b$ ， $c$ 的值及抛物线顶点 $E$ 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若点 $Q$ 在抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标为 $b$ ，当 $S_{\mathit{\Delta EQM}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACE}}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $b+\frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2}\mathit{AM}+2\mathit{DM}$ 的最小值为 $\frac{27\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．