初中数学三角形解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$于点 $D$，若 $\mathit{BC}=\mathit{ED}$，求证： $\mathit{CE}=\mathit{DB}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，弦 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，且 $\mathit{ME}=3$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AM}=5$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的长度．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是它的两条切线，过 $\odot O$上一点 $E$作直线 $\mathit{DC}$，分别交 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BN}$于点 $D$、 $C$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{DE}·\mathit{CE}$．

如图，过 $▱\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$作两条互相垂直的直线，分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$于点 $P$、 $M$、 $Q$、 $N$．

（1）求证： $\mathit{\Delta PBE}\cong \mathit{\Delta QDE}$；

（2）顺次连接点 $P$、 $M$、 $Q$、 $N$，求证：四边形 $\mathit{PMQN}$是菱形．

如图，在 $6\times 4$的方格纸 $\mathit{ABCD}$中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点 $A$， $B$， $C$， $D$重合．

（1）在图1中画格点线段 $\mathit{EF}$， $\mathit{GH}$各一条，使点 $E$， $F$， $G$， $H$分别落在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$上，且 $\mathit{EF}=\mathit{GH}$， $\mathit{EF}$不平行 $\mathit{GH}$．

（2）在图2中画格点线段 $\mathit{MN}$， $\mathit{PQ}$各一条，使点 $M$， $N$， $P$， $Q$分别落在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$上，且 $\mathit{PQ}=\sqrt{5}\mathit{MN}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DCE}$中， $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\angle B=\angle \mathit{DCE}=90°$，点 $A$， $C$， $D$依次在同一直线上，且 $\mathit{AB}//\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DCE}$．

（2）连结 $\mathit{AE}$，当 $\mathit{BC}=5$， $\mathit{AC}=12$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$， $\mathit{BD}$和 $\mathit{CE}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\cong \mathit{\Delta ACE}$；

（2）判断 $\mathit{\Delta BOC}$的形状，并说明理由．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABD}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BD}$．在 $\mathit{BD}$的延长线上取点 $E$， $C$，作 $\mathit{\Delta AEC}$，使 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．若 $\angle \mathit{BAE}=90°$， $\angle B=45°$，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

答案： $\angle \mathit{DAC}=45°$．

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，其余条件不变，那么 $\angle \mathit{DAC}$的度数会改变吗？说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“ $\angle B=45°$”去掉，再将“ $\angle \mathit{BAE}=90°$”改为“ $\angle \mathit{BAE}=n°$”，其余条件不变，求 $\angle \mathit{DAC}$的度数．

如图，点 $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$的中点，连结 $\mathit{AE}$并延长，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）若 $\mathit{AD}$的长为2，求 $\mathit{CF}$的长．

（2）若 $\angle \mathit{BAF}=90°$，试添加一个条件，并写出 $\angle F$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$， $\angle B=45°$， $\angle C=60°$．

（1）求 $\mathit{BC}$边上的高线长．

（2）点 $E$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $F$在边 $\mathit{AC}$上，连结 $\mathit{EF}$，沿 $\mathit{EF}$将 $\mathit{\Delta AEF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PEF}$．

①如图2，当点 $P$落在 $\mathit{BC}$上时，求 $\angle \mathit{AEP}$的度数．

②如图3，连结 $\mathit{AP}$，当 $\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$时，求 $\mathit{AP}$的长．

在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$拼在一起，使点 $A$与点 $F$重合，点 $C$与点 $D$重合（如图 $1)$，其中 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DFE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{EF}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=\mathit{DF}=4\mathit{cm}$，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $\mathit{DEF}$沿 $\mathit{AC}$方向平移，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{BD}$（如图 $2)$，当点 $F$与点 $C$重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $\mathit{DEF}$平移到某一位置时，小兵发现四边形 $\mathit{ABDE}$为矩形（如图 $3)$．求 $\mathit{AF}$的长．

活动二：在图3中，取 $\mathit{AD}$的中点 $O$，再将纸片 $\mathit{DEF}$绕点 $O$顺时针方向旋转 $\alpha$度 $(0⩽\alpha ⩽90)$，连结 $\mathit{OB}$， $\mathit{OE}$（如图 $4)$．

[探究]当 $\mathit{EF}$平分 $\angle \mathit{AEO}$时，探究 $\mathit{OF}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta OAB}$中， $\mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\odot O$与 $\mathit{AB}$相切于点 $C$．求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$．小明同学的证明过程如下框：

证明：连结 $\mathit{OC}$， $\because \mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\therefore \angle A=\angle B$， 又 $\because \mathit{OC}=\mathit{OC}$， $\therefore \mathit{\Delta OAC}\cong \mathit{\Delta OBC}$， $\therefore \mathit{AC}=\mathit{BC}$．

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“ $\surd$”；若错误，请写出你的证明过程．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=m$， $D$是 $\mathit{AB}$边上的一点，将 $\angle B$沿着过点 $D$的直线折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边的点 $P$处（不与点 $A$， $C$重合），折痕交 $\mathit{BC}$边于点 $E$．

（1）特例感知 如图1，若 $\angle C=60°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，求证： $\mathit{AP}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$；

（2）变式求异 如图2，若 $\angle C=90°$， $m=6\sqrt{2}$， $\mathit{AD}=7$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，求 $\mathit{DH}$和 $\mathit{AP}$的长；

（3）化归探究 如图3，若 $m=10$， $\mathit{AB}=12$，且当 $\mathit{AD}=a$时，存在两次不同的折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上两个不同的位置，请直接写出 $a$的取值范围．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，连接 $\mathit{AE}$， $\angle \mathit{DAE}$的平分线 $\mathit{AG}$与 $\mathit{CD}$边交于点 $G$，与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $F$．设 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{EB}}=\lambda (\lambda >0)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2$， $\lambda =1$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

（2）连接 $\mathit{EG}$，若 $\mathit{EG}\perp \mathit{AF}$，

①求证：点 $G$为 $\mathit{CD}$边的中点．

②求 $\lambda$的值．